Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102128 / 99130
↖ ↑ ↗
← S 67.401155°
E100.502930°		 ← 117.37 m → S 67.401155°
E100.505676°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.402211°
E100.502930°		 ← 117.36 m →
13 773 m²		 S 67.402211°
E100.505676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779178619384766 y=0.756305694580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779178619384766 × 217)
    floor (0.779178619384766 × 131072)
    floor (102128.5)     		tx = 102128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756305694580078 × 217)
    floor (0.756305694580078 × 131072)
    floor (99130.5)     		ty = 99130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102128 / 99130 ti = "17/102128/99130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102128/99130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102128 ÷ 217
    102128 ÷ 131072     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99130 ÷ 217
    99130 ÷ 131072     		y = 0.756301879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756301879882812 × 2 - 1) × π
    -0.512603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61039220583617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61039220583617))-π/2
    2×atan(0.199809232358215)-π/2
    2×0.197212122697554-π/2
    0.394424245395108-1.57079632675     		φ = -1.17637208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17637208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.401155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102128 KachelY 99130 1.75410703 -1.17637208 100.502930 -67.401155
    Oben rechts KachelX + 1 102129 KachelY 99130 1.75415497 -1.17637208 100.505676 -67.401155
    Unten links KachelX 102128 KachelY + 1 99131 1.75410703 -1.17639050 100.502930 -67.402211
    Unten rechts KachelX + 1 102129 KachelY + 1 99131 1.75415497 -1.17639050 100.505676 -67.402211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17637208--1.17639050) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17637208--1.17639050) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.17637208) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384276706827005 × 6371000     		do = 117.367997547868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.17639050) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.384259701086882 × 6371000     		du = 117.362803557106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17637208)-sin(-1.17639050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384276706827005-0.384259701086882)×R²
    abs(1.75415497-1.75410703)×1.70057401230328e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.70057401230328e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.70057401230328e-05×40589641000000     		ar = 13773.2780908467m²