Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102128 / 97456
↖ ↑ ↗
← S 65.567549°
E100.502930°		 ← 126.33 m → S 65.567549°
E100.505676°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.568686°
E100.502930°		 ← 126.32 m →
15 960 m²		 S 65.568686°
E100.505676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779178619384766 y=0.743534088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779178619384766 × 217)
    floor (0.779178619384766 × 131072)
    floor (102128.5)     		tx = 102128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743534088134766 × 217)
    floor (0.743534088134766 × 131072)
    floor (97456.5)     		ty = 97456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102128 / 97456 ti = "17/102128/97456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102128/97456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102128 ÷ 217
    102128 ÷ 131072     		x = 0.7791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97456 ÷ 217
    97456 ÷ 131072     		y = 0.7435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7791748046875 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75410703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75410703} λ = 1.75410703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53014583587219))-π/2
    2×atan(0.216504090950643)-π/2
    2×0.213213351022781-π/2
    0.426426702045561-1.57079632675     		φ = -1.14436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75410703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.567549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102128 KachelY 97456 1.75410703 -1.14436962 100.502930 -65.567549
    Oben rechts KachelX + 1 102129 KachelY 97456 1.75415497 -1.14436962 100.505676 -65.567549
    Unten links KachelX 102128 KachelY + 1 97457 1.75410703 -1.14438945 100.502930 -65.568686
    Unten rechts KachelX + 1 102129 KachelY + 1 97457 1.75415497 -1.14438945 100.505676 -65.568686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14436962--1.14438945) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14436962--1.14438945) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.14436962) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413620146815381 × 6371000     		do = 126.330239420499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75410703-1.75415497) × cos(-1.14438945) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.41360209251958 × 6371000     		du = 126.324725173843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14436962)-sin(-1.14438945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413620146815381-0.41360209251958)×R²
    abs(1.75415497-1.75410703)×1.80542958016505e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80542958016505e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80542958016505e-05×40589641000000     		ar = 15959.8262885442m²