Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102127 / 96761
↖ ↑ ↗
← S 64.765930°
E100.500183°		 ← 130.21 m → S 64.765930°
E100.502930°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
S 64.767101°
E100.500183°		 ← 130.20 m →
16 956 m²		 S 64.767101°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779170989990234 y=0.738231658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779170989990234 × 217)
    floor (0.779170989990234 × 131072)
    floor (102127.5)     		tx = 102127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738231658935547 × 217)
    floor (0.738231658935547 × 131072)
    floor (96761.5)     		ty = 96761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102127 / 96761 ti = "17/102127/96761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102127/96761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102127 ÷ 217
    102127 ÷ 131072     		x = 0.779167175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96761 ÷ 217
    96761 ÷ 131072     		y = 0.738227844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779167175292969 × 2 - 1) × π
    0.558334350585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75405909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738227844238281 × 2 - 1) × π
    -0.476455688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.49682969063625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75405909} λ = 1.75405909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49682969063625))-π/2
    2×atan(0.223838674295569)-π/2
    2×0.220208801292873-π/2
    0.440417602585747-1.57079632675     		φ = -1.13037872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75405909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.500183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13037872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.765930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102127 KachelY 96761 1.75405909 -1.13037872 100.500183 -64.765930
    Oben rechts KachelX + 1 102128 KachelY 96761 1.75410703 -1.13037872 100.502930 -64.765930
    Unten links KachelX 102127 KachelY + 1 96762 1.75405909 -1.13039916 100.500183 -64.767101
    Unten rechts KachelX + 1 102128 KachelY + 1 96762 1.75410703 -1.13039916 100.502930 -64.767101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13037872--1.13039916) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dl = 130.223240000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13037872--1.13039916) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dr = 130.223240000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75405909-1.75410703) × cos(-1.13037872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426317258356324 × 6371000     		do = 130.208264108166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75405909-1.75410703) × cos(-1.13039916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426298768780654 × 6371000     		du = 130.202616915835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13037872)-sin(-1.13039916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426317258356324-0.426298768780654)×R²
    abs(1.75410703-1.75405909)×1.84895756695225e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84895756695225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84895756695225e-05×40589641000000     		ar = 16955.7743297891m²