Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102127 / 96123
↖ ↑ ↗
← S 64.008479°
E100.500183°		 ← 133.85 m → S 64.008479°
E100.502930°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
S 64.009682°
E100.500183°		 ← 133.84 m →
17 916 m²		 S 64.009682°
E100.502930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779170989990234 y=0.733364105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779170989990234 × 217)
    floor (0.779170989990234 × 131072)
    floor (102127.5)     		tx = 102127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733364105224609 × 217)
    floor (0.733364105224609 × 131072)
    floor (96123.5)     		ty = 96123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102127 / 96123 ti = "17/102127/96123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102127/96123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102127 ÷ 217
    102127 ÷ 131072     		x = 0.779167175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96123 ÷ 217
    96123 ÷ 131072     		y = 0.733360290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779167175292969 × 2 - 1) × π
    0.558334350585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75405909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733360290527344 × 2 - 1) × π
    -0.466720581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.46624594867866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75405909} λ = 1.75405909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46624594867866))-π/2
    2×atan(0.230790259446077)-π/2
    2×0.226818813391035-π/2
    0.45363762678207-1.57079632675     		φ = -1.11715870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75405909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.500183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11715870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.008479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102127 KachelY 96123 1.75405909 -1.11715870 100.500183 -64.008479
    Oben rechts KachelX + 1 102128 KachelY 96123 1.75410703 -1.11715870 100.502930 -64.008479
    Unten links KachelX 102127 KachelY + 1 96124 1.75405909 -1.11717971 100.500183 -64.009682
    Unten rechts KachelX + 1 102128 KachelY + 1 96124 1.75410703 -1.11717971 100.502930 -64.009682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11715870--1.11717971) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11715870--1.11717971) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75405909-1.75410703) × cos(-1.11715870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438238139594125 × 6371000     		do = 133.849208081671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75405909-1.75410703) × cos(-1.11717971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438219254471787 × 6371000     		du = 133.843440079206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11715870)-sin(-1.11717971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438238139594125-0.438219254471787)×R²
    abs(1.75410703-1.75405909)×1.88851223384967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88851223384967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88851223384967e-05×40589641000000     		ar = 17915.96089507m²