Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102126 / 99154
↖ ↑ ↗
← S 67.426473°
E100.497437°		 ← 117.22 m → S 67.426473°
E100.500183°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.427527°
E100.497437°		 ← 117.21 m →
13 741 m²		 S 67.427527°
E100.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779163360595703 y=0.756488800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779163360595703 × 217)
    floor (0.779163360595703 × 131072)
    floor (102126.5)     		tx = 102126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756488800048828 × 217)
    floor (0.756488800048828 × 131072)
    floor (99154.5)     		ty = 99154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102126 / 99154 ti = "17/102126/99154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102126/99154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102126 ÷ 217
    102126 ÷ 131072     		x = 0.779159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99154 ÷ 217
    99154 ÷ 131072     		y = 0.756484985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    0.558319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75401116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756484985351562 × 2 - 1) × π
    -0.512969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61154269142705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75401116} λ = 1.75401116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61154269142705))-π/2
    2×atan(0.199579486900223)-π/2
    2×0.196991187652171-π/2
    0.393982375304342-1.57079632675     		φ = -1.17681395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75401116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17681395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.426473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102126 KachelY 99154 1.75401116 -1.17681395 100.497437 -67.426473
    Oben rechts KachelX + 1 102127 KachelY 99154 1.75405909 -1.17681395 100.500183 -67.426473
    Unten links KachelX 102126 KachelY + 1 99155 1.75401116 -1.17683235 100.497437 -67.427527
    Unten rechts KachelX + 1 102127 KachelY + 1 99155 1.75405909 -1.17683235 100.500183 -67.427527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17681395--1.17683235) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17681395--1.17683235) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.17681395) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383868727002841 × 6371000     		do = 117.218933731175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.17683235) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38385173660462 × 6371000     		du = 117.213745508684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17681395)-sin(-1.17683235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383868727002841-0.38385173660462)×R²
    abs(1.75405909-1.75401116)×1.69903982210062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69903982210062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69903982210062e-05×40589641000000     		ar = 13740.8495151626m²