Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102126 / 99150
↖ ↑ ↗
← S 67.422255°
E100.497437°		 ← 117.24 m → S 67.422255°
E100.500183°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.423309°
E100.497437°		 ← 117.23 m →
13 743 m²		 S 67.423309°
E100.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779163360595703 y=0.756458282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779163360595703 × 217)
    floor (0.779163360595703 × 131072)
    floor (102126.5)     		tx = 102126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756458282470703 × 217)
    floor (0.756458282470703 × 131072)
    floor (99150.5)     		ty = 99150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102126 / 99150 ti = "17/102126/99150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102126/99150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102126 ÷ 217
    102126 ÷ 131072     		x = 0.779159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99150 ÷ 217
    99150 ÷ 131072     		y = 0.756454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    0.558319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75401116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756454467773438 × 2 - 1) × π
    -0.512908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61135094382857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75401116} λ = 1.75401116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61135094382857))-π/2
    2×atan(0.19961775945676)-π/2
    2×0.197027993863582-π/2
    0.394055987727164-1.57079632675     		φ = -1.17674034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75401116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17674034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.422255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102126 KachelY 99150 1.75401116 -1.17674034 100.497437 -67.422255
    Oben rechts KachelX + 1 102127 KachelY 99150 1.75405909 -1.17674034 100.500183 -67.422255
    Unten links KachelX 102126 KachelY + 1 99151 1.75401116 -1.17675874 100.497437 -67.423309
    Unten rechts KachelX + 1 102127 KachelY + 1 99151 1.75405909 -1.17675874 100.500183 -67.423309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17674034--1.17675874) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17674034--1.17675874) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.17674034) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383936696529636 × 6371000     		do = 117.239689043856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.17675874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383919706651371 × 6371000     		du = 117.234500980139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17674034)-sin(-1.17675874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383936696529636-0.383919706651371)×R²
    abs(1.75405909-1.75401116)×1.69898782654831e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69898782654831e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69898782654831e-05×40589641000000     		ar = 13743.28259497m²