Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102126 / 96749
↖ ↑ ↗
← S 64.751875°
E100.497437°		 ← 130.25 m → S 64.751875°
E100.500183°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
S 64.753047°
E100.497437°		 ← 130.24 m →
16 969 m²		 S 64.753047°
E100.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779163360595703 y=0.738140106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779163360595703 × 217)
    floor (0.779163360595703 × 131072)
    floor (102126.5)     		tx = 102126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738140106201172 × 217)
    floor (0.738140106201172 × 131072)
    floor (96749.5)     		ty = 96749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102126 / 96749 ti = "17/102126/96749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102126/96749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102126 ÷ 217
    102126 ÷ 131072     		x = 0.779159545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96749 ÷ 217
    96749 ÷ 131072     		y = 0.738136291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    0.558319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75401116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738136291503906 × 2 - 1) × π
    -0.476272583007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.49625444784081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75401116} λ = 1.75401116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49625444784081))-π/2
    2×atan(0.223967472921988)-π/2
    2×0.220331451163902-π/2
    0.440662902327804-1.57079632675     		φ = -1.13013342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75401116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13013342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.751875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102126 KachelY 96749 1.75401116 -1.13013342 100.497437 -64.751875
    Oben rechts KachelX + 1 102127 KachelY 96749 1.75405909 -1.13013342 100.500183 -64.751875
    Unten links KachelX 102126 KachelY + 1 96750 1.75401116 -1.13015387 100.497437 -64.753047
    Unten rechts KachelX + 1 102127 KachelY + 1 96750 1.75405909 -1.13015387 100.500183 -64.753047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13013342--1.13015387) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13013342--1.13015387) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.13013342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426539137458745 × 6371000     		do = 130.248856888931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75401116-1.75405909) × cos(-1.13015387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		du = 130.243208765514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13013342)-sin(-1.13015387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426539137458745-0.426520640976333)×R²
    abs(1.75405909-1.75401116)×1.84964824120892e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84964824120892e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84964824120892e-05×40589641000000     		ar = 16969.3583673439m²