Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102125 / 96751
↖ ↑ ↗
← S 64.754219°
E100.494690°		 ← 130.26 m → S 64.754219°
E100.497437°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
S 64.755390°
E100.494690°		 ← 130.26 m →
16 963 m²		 S 64.755390°
E100.497437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779155731201172 y=0.738155364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779155731201172 × 217)
    floor (0.779155731201172 × 131072)
    floor (102125.5)     		tx = 102125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738155364990234 × 217)
    floor (0.738155364990234 × 131072)
    floor (96751.5)     		ty = 96751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102125 / 96751 ti = "17/102125/96751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102125/96751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102125 ÷ 217
    102125 ÷ 131072     		x = 0.779151916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96751 ÷ 217
    96751 ÷ 131072     		y = 0.738151550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779151916503906 × 2 - 1) × π
    0.558303833007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.75396322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738151550292969 × 2 - 1) × π
    -0.476303100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.49635032164005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75396322} λ = 1.75396322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49635032164005))-π/2
    2×atan(0.22394600133875)-π/2
    2×0.220311005086788-π/2
    0.440622010173575-1.57079632675     		φ = -1.13017432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75396322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.494690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13017432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.754219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102125 KachelY 96751 1.75396322 -1.13017432 100.494690 -64.754219
    Oben rechts KachelX + 1 102126 KachelY 96751 1.75401116 -1.13017432 100.497437 -64.754219
    Unten links KachelX 102125 KachelY + 1 96752 1.75396322 -1.13019476 100.494690 -64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 102126 KachelY + 1 96752 1.75401116 -1.13019476 100.497437 -64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13017432--1.13019476) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dl = 130.223239999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13017432--1.13019476) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dr = 130.223239999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75396322-1.75401116) × cos(-1.13017432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426502144315549 × 6371000     		do = 130.264733039078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75396322-1.75401116) × cos(-1.13019476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 130.259086390855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13017432)-sin(-1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426502144315549-0.426483656521353)×R²
    abs(1.75401116-1.75396322)×1.84877941954986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84877941954986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84877941954986e-05×40589641000000     		ar = 16963.1279322449m²