Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102123 / 97639
↖ ↑ ↗
← S 65.774617°
E100.489197°		 ← 125.30 m → S 65.774617°
E100.491943°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.775744°
E100.489197°		 ← 125.29 m →
15 702 m²		 S 65.775744°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779140472412109 y=0.744930267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779140472412109 × 217)
    floor (0.779140472412109 × 131072)
    floor (102123.5)     		tx = 102123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744930267333984 × 217)
    floor (0.744930267333984 × 131072)
    floor (97639.5)     		ty = 97639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102123 / 97639 ti = "17/102123/97639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102123/97639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102123 ÷ 217
    102123 ÷ 131072     		x = 0.779136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97639 ÷ 217
    97639 ÷ 131072     		y = 0.744926452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779136657714844 × 2 - 1) × π
    0.558273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75386735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744926452636719 × 2 - 1) × π
    -0.489852905273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.53891828850266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75386735} λ = 1.75386735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53891828850266))-π/2
    2×atan(0.214613125398078)-π/2
    2×0.211406349181583-π/2
    0.422812698363166-1.57079632675     		φ = -1.14798363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75386735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14798363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.774617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102123 KachelY 97639 1.75386735 -1.14798363 100.489197 -65.774617
    Oben rechts KachelX + 1 102124 KachelY 97639 1.75391528 -1.14798363 100.491943 -65.774617
    Unten links KachelX 102123 KachelY + 1 97640 1.75386735 -1.14800330 100.489197 -65.775744
    Unten rechts KachelX + 1 102124 KachelY + 1 97640 1.75391528 -1.14800330 100.491943 -65.775744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14798363--1.14800330) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dl = 125.31757000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14798363--1.14800330) × R
    1.96700000001382e-05 × 6371000     		dr = 125.31757000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.14798363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410327079060021 × 6371000     		do = 125.298309825815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.14800330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410309141151853 × 6371000     		du = 125.292832269763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14798363)-sin(-1.14800330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410327079060021-0.410309141151853)×R²
    abs(1.75391528-1.75386735)×1.79379081680642e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79379081680642e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79379081680642e-05×40589641000000     		ar = 15701.736496092m²