Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102123 / 96765
↖ ↑ ↗
← S 64.770613°
E100.489197°		 ← 130.16 m → S 64.770613°
E100.491943°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
S 64.771784°
E100.489197°		 ← 130.15 m →
16 941 m²		 S 64.771784°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779140472412109 y=0.738262176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779140472412109 × 217)
    floor (0.779140472412109 × 131072)
    floor (102123.5)     		tx = 102123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738262176513672 × 217)
    floor (0.738262176513672 × 131072)
    floor (96765.5)     		ty = 96765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102123 / 96765 ti = "17/102123/96765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102123/96765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102123 ÷ 217
    102123 ÷ 131072     		x = 0.779136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96765 ÷ 217
    96765 ÷ 131072     		y = 0.738258361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779136657714844 × 2 - 1) × π
    0.558273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75386735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738258361816406 × 2 - 1) × π
    -0.476516723632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.49702143823473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75386735} λ = 1.75386735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49702143823473))-π/2
    2×atan(0.223795757882017)-π/2
    2×0.220167932182516-π/2
    0.440335864365033-1.57079632675     		φ = -1.13046046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75386735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13046046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.770613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102123 KachelY 96765 1.75386735 -1.13046046 100.489197 -64.770613
    Oben rechts KachelX + 1 102124 KachelY 96765 1.75391528 -1.13046046 100.491943 -64.770613
    Unten links KachelX 102123 KachelY + 1 96766 1.75386735 -1.13048089 100.489197 -64.771784
    Unten rechts KachelX + 1 102124 KachelY + 1 96766 1.75391528 -1.13048089 100.491943 -64.771784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13046046--1.13048089) × R
    2.04300000001822e-05 × 6371000     		dl = 130.159530001161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13046046--1.13048089) × R
    2.04300000001822e-05 × 6371000     		dr = 130.159530001161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.13046046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426243317077219 × 6371000     		do = 130.158524576713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.13048089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.426224835835523 × 6371000     		du = 130.152881107232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13046046)-sin(-1.13048089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426243317077219-0.426224835835523)×R²
    abs(1.75391528-1.75386735)×1.84812416959557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84812416959557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84812416959557e-05×40589641000000     		ar = 16941.0051095826m²