Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102123 / 96456
↖ ↑ ↗
← S 64.406432°
E100.489197°		 ← 131.91 m → S 64.406432°
E100.491943°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.407618°
E100.489197°		 ← 131.91 m →
17 396 m²		 S 64.407618°
E100.491943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779140472412109 y=0.735904693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779140472412109 × 217)
    floor (0.779140472412109 × 131072)
    floor (102123.5)     		tx = 102123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735904693603516 × 217)
    floor (0.735904693603516 × 131072)
    floor (96456.5)     		ty = 96456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102123 / 96456 ti = "17/102123/96456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102123/96456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102123 ÷ 217
    102123 ÷ 131072     		x = 0.779136657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96456 ÷ 217
    96456 ÷ 131072     		y = 0.73590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779136657714844 × 2 - 1) × π
    0.558273315429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75386735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75386735} λ = 1.75386735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48220893625214))-π/2
    2×atan(0.227135406200487)-π/2
    2×0.223346020843888-π/2
    0.446692041687776-1.57079632675     		φ = -1.12410429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75386735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.489197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12410429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.406432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102123 KachelY 96456 1.75386735 -1.12410429 100.489197 -64.406432
    Oben rechts KachelX + 1 102124 KachelY 96456 1.75391528 -1.12410429 100.491943 -64.406432
    Unten links KachelX 102123 KachelY + 1 96457 1.75386735 -1.12412499 100.489197 -64.407618
    Unten rechts KachelX + 1 102124 KachelY + 1 96457 1.75391528 -1.12412499 100.491943 -64.407618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12410429--1.12412499) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12410429--1.12412499) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.12410429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		do = 131.911668072273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75386735-1.75391528) × cos(-1.12412499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431965844801911 × 6371000     		du = 131.905967259457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12410429)-sin(-1.12412499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431984513831638-0.431965844801911)×R²
    abs(1.75391528-1.75386735)×1.86690297272474e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86690297272474e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86690297272474e-05×40589641000000     		ar = 17396.0953019024m²