Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102122 / 99607
↖ ↑ ↗
← S 67.899321°
E100.486450°		 ← 114.91 m → S 67.899321°
E100.489197°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.900354°
E100.486450°		 ← 114.91 m →
13 200 m²		 S 67.900354°
E100.489197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779132843017578 y=0.759944915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779132843017578 × 217)
    floor (0.779132843017578 × 131072)
    floor (102122.5)     		tx = 102122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759944915771484 × 217)
    floor (0.759944915771484 × 131072)
    floor (99607.5)     		ty = 99607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102122 / 99607 ti = "17/102122/99607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102122/99607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102122 ÷ 217
    102122 ÷ 131072     		x = 0.779129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99607 ÷ 217
    99607 ÷ 131072     		y = 0.759941101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779129028320312 × 2 - 1) × π
    0.558258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75381941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759941101074219 × 2 - 1) × π
    -0.519882202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.63325810695493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75381941} λ = 1.75381941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63325810695493))-π/2
    2×atan(0.195292253412073)-π/2
    2×0.192864809561748-π/2
    0.385729619123497-1.57079632675     		φ = -1.18506671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75381941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18506671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.899321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102122 KachelY 99607 1.75381941 -1.18506671 100.486450 -67.899321
    Oben rechts KachelX + 1 102123 KachelY 99607 1.75386735 -1.18506671 100.489197 -67.899321
    Unten links KachelX 102122 KachelY + 1 99608 1.75381941 -1.18508474 100.486450 -67.900354
    Unten rechts KachelX + 1 102123 KachelY + 1 99608 1.75386735 -1.18508474 100.489197 -67.900354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18506671--1.18508474) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18506671--1.18508474) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75381941-1.75386735) × cos(-1.18506671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376235244426772 × 6371000     		do = 114.911927943052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75381941-1.75386735) × cos(-1.18508474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376218539134802 × 6371000     		du = 114.906825716891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18506671)-sin(-1.18508474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376235244426772-0.376218539134802)×R²
    abs(1.75386735-1.75381941)×1.67052919692323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67052919692323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67052919692323e-05×40589641000000     		ar = 13199.540145499m²