Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102121 / 97641
↖ ↑ ↗
← S 65.776871°
E100.483703°		 ← 125.31 m → S 65.776871°
E100.486450°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.777997°
E100.483703°		 ← 125.31 m →
15 696 m²		 S 65.777997°
E100.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779125213623047 y=0.744945526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779125213623047 × 217)
    floor (0.779125213623047 × 131072)
    floor (102121.5)     		tx = 102121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744945526123047 × 217)
    floor (0.744945526123047 × 131072)
    floor (97641.5)     		ty = 97641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102121 / 97641 ti = "17/102121/97641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102121/97641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102121 ÷ 217
    102121 ÷ 131072     		x = 0.779121398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97641 ÷ 217
    97641 ÷ 131072     		y = 0.744941711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779121398925781 × 2 - 1) × π
    0.558242797851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75377147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744941711425781 × 2 - 1) × π
    -0.489883422851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.5390141623019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75377147} λ = 1.75377147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5390141623019))-π/2
    2×atan(0.214592550608686)-π/2
    2×0.21138668023337-π/2
    0.422773360466739-1.57079632675     		φ = -1.14802297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75377147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.483703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14802297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.776871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102121 KachelY 97641 1.75377147 -1.14802297 100.483703 -65.776871
    Oben rechts KachelX + 1 102122 KachelY 97641 1.75381941 -1.14802297 100.486450 -65.776871
    Unten links KachelX 102121 KachelY + 1 97642 1.75377147 -1.14804263 100.483703 -65.777997
    Unten rechts KachelX + 1 102122 KachelY + 1 97642 1.75381941 -1.14804263 100.486450 -65.777997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14802297--1.14804263) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14802297--1.14804263) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75377147-1.75381941) × cos(-1.14802297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410291203084933 × 6371000     		do = 125.313494317624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75377147-1.75381941) × cos(-1.14804263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410273273978894 × 6371000     		du = 125.308018307144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14802297)-sin(-1.14804263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410291203084933-0.410273273978894)×R²
    abs(1.75381941-1.75377147)×1.79291060392051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79291060392051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79291060392051e-05×40589641000000     		ar = 15695.6559281001m²