Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102120 / 97640
↖ ↑ ↗
← S 65.775744°
E100.480957°		 ← 125.29 m → S 65.775744°
E100.483703°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.776871°
E100.480957°		 ← 125.29 m →
15 701 m²		 S 65.776871°
E100.483703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779117584228516 y=0.744937896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779117584228516 × 217)
    floor (0.779117584228516 × 131072)
    floor (102120.5)     		tx = 102120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744937896728516 × 217)
    floor (0.744937896728516 × 131072)
    floor (97640.5)     		ty = 97640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102120 / 97640 ti = "17/102120/97640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102120/97640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102120 ÷ 217
    102120 ÷ 131072     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97640 ÷ 217
    97640 ÷ 131072     		y = 0.74493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74493408203125 × 2 - 1) × π
    -0.4898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53896622540228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53896622540228))-π/2
    2×atan(0.214602837756809)-π/2
    2×0.211396514492515-π/2
    0.42279302898503-1.57079632675     		φ = -1.14800330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14800330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.775744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102120 KachelY 97640 1.75372354 -1.14800330 100.480957 -65.775744
    Oben rechts KachelX + 1 102121 KachelY 97640 1.75377147 -1.14800330 100.483703 -65.775744
    Unten links KachelX 102120 KachelY + 1 97641 1.75372354 -1.14802297 100.480957 -65.776871
    Unten rechts KachelX + 1 102121 KachelY + 1 97641 1.75377147 -1.14802297 100.483703 -65.776871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14800330--1.14802297) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dl = 125.317569999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14800330--1.14802297) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dr = 125.317569999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75377147) × cos(-1.14800330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410309141151853 × 6371000     		do = 125.292832269763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75377147) × cos(-1.14802297) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410291203084933 × 6371000     		du = 125.287354665234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14800330)-sin(-1.14802297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410309141151853-0.410291203084933)×R²
    abs(1.75377147-1.75372354)×1.79380669201867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79380669201867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79380669201867e-05×40589641000000     		ar = 15701.0500588508m²