Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102120 / 96040
↖ ↑ ↗
← S 63.908396°
E100.480957°		 ← 134.30 m → S 63.908396°
E100.483703°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
S 63.909604°
E100.480957°		 ← 134.29 m →
18 045 m²		 S 63.909604°
E100.483703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779117584228516 y=0.732730865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779117584228516 × 217)
    floor (0.779117584228516 × 131072)
    floor (102120.5)     		tx = 102120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732730865478516 × 217)
    floor (0.732730865478516 × 131072)
    floor (96040.5)     		ty = 96040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102120 / 96040 ti = "17/102120/96040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102120/96040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102120 ÷ 217
    102120 ÷ 131072     		x = 0.77911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96040 ÷ 217
    96040 ÷ 131072     		y = 0.73272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77911376953125 × 2 - 1) × π
    0.5582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75372354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46226718601019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75372354} λ = 1.75372354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46226718601019))-π/2
    2×atan(0.231710348308422)-π/2
    2×0.227692196552318-π/2
    0.455384393104636-1.57079632675     		φ = -1.11541193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75372354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11541193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.908396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102120 KachelY 96040 1.75372354 -1.11541193 100.480957 -63.908396
    Oben rechts KachelX + 1 102121 KachelY 96040 1.75377147 -1.11541193 100.483703 -63.908396
    Unten links KachelX 102120 KachelY + 1 96041 1.75372354 -1.11543302 100.480957 -63.909604
    Unten rechts KachelX + 1 102121 KachelY + 1 96041 1.75377147 -1.11543302 100.483703 -63.909604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11541193--1.11543302) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dl = 134.364389999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11541193--1.11543302) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dr = 134.364389999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75372354-1.75377147) × cos(-1.11541193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43980756998989 × 6371000     		do = 134.300532381562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75372354-1.75377147) × cos(-1.11543302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439788629131086 × 6371000     		du = 134.294748562468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11541193)-sin(-1.11543302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43980756998989-0.439788629131086)×R²
    abs(1.75377147-1.75372354)×1.89408588043838e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89408588043838e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89408588043838e-05×40589641000000     		ar = 18044.8205411385m²