Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102119 / 99127
↖ ↑ ↗
← S 67.397989°
E100.478211°		 ← 117.38 m → S 67.397989°
E100.480957°		 →
↑
117.42 m
↓
↑
117.42 m
↓
S 67.399045°
E100.478211°		 ← 117.38 m →
13 783 m²		 S 67.399045°
E100.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779109954833984 y=0.756282806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779109954833984 × 217)
    floor (0.779109954833984 × 131072)
    floor (102119.5)     		tx = 102119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756282806396484 × 217)
    floor (0.756282806396484 × 131072)
    floor (99127.5)     		ty = 99127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102119 / 99127 ti = "17/102119/99127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102119/99127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102119 ÷ 217
    102119 ÷ 131072     		x = 0.779106140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99127 ÷ 217
    99127 ÷ 131072     		y = 0.756278991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779106140136719 × 2 - 1) × π
    0.558212280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75367560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756278991699219 × 2 - 1) × π
    -0.512557983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.61024839513731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75367560} λ = 1.75367560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61024839513731))-π/2
    2×atan(0.199837969129837)-π/2
    2×0.197239756082712-π/2
    0.394479512165424-1.57079632675     		φ = -1.17631681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75367560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.478211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17631681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.397989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102119 KachelY 99127 1.75367560 -1.17631681 100.478211 -67.397989
    Oben rechts KachelX + 1 102120 KachelY 99127 1.75372354 -1.17631681 100.480957 -67.397989
    Unten links KachelX 102119 KachelY + 1 99128 1.75367560 -1.17633524 100.478211 -67.399045
    Unten rechts KachelX + 1 102120 KachelY + 1 99128 1.75372354 -1.17633524 100.480957 -67.399045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17631681--1.17633524) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dl = 117.41752999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17631681--1.17633524) × R
    1.84299999999027e-05 × 6371000     		dr = 117.41752999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75367560-1.75372354) × cos(-1.17631681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384327732497016 × 6371000     		do = 117.383582100346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75367560-1.75372354) × cos(-1.17633524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384310717916094 × 6371000     		du = 117.378385409377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17631681)-sin(-1.17633524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384327732497016-0.384310717916094)×R²
    abs(1.75372354-1.75367560)×1.7014580921848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7014580921848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7014580921848e-05×40589641000000     		ar = 13782.5851818446m²