Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102118 / 99608
↖ ↑ ↗
← S 67.900354°
E100.475464°		 ← 114.91 m → S 67.900354°
E100.478211°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.901388°
E100.475464°		 ← 114.90 m →
13 206 m²		 S 67.901388°
E100.478211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779102325439453 y=0.759952545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779102325439453 × 217)
    floor (0.779102325439453 × 131072)
    floor (102118.5)     		tx = 102118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759952545166016 × 217)
    floor (0.759952545166016 × 131072)
    floor (99608.5)     		ty = 99608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102118 / 99608 ti = "17/102118/99608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102118/99608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102118 ÷ 217
    102118 ÷ 131072     		x = 0.779098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99608 ÷ 217
    99608 ÷ 131072     		y = 0.75994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75362766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63330604385455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75362766} λ = 1.75362766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63330604385455))-π/2
    2×atan(0.195282891931307)-π/2
    2×0.192855791986382-π/2
    0.385711583972765-1.57079632675     		φ = -1.18508474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75362766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18508474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.900354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102118 KachelY 99608 1.75362766 -1.18508474 100.475464 -67.900354
    Oben rechts KachelX + 1 102119 KachelY 99608 1.75367560 -1.18508474 100.478211 -67.900354
    Unten links KachelX 102118 KachelY + 1 99609 1.75362766 -1.18510278 100.475464 -67.901388
    Unten rechts KachelX + 1 102119 KachelY + 1 99609 1.75367560 -1.18510278 100.478211 -67.901388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18508474--1.18510278) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18508474--1.18510278) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75362766-1.75367560) × cos(-1.18508474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376218539134802 × 6371000     		do = 114.906825716891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75362766-1.75367560) × cos(-1.18510278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376201824455154 × 6371000     		du = 114.90172062349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18508474)-sin(-1.18510278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376218539134802-0.376201824455154)×R²
    abs(1.75367560-1.75362766)×1.67146796482553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67146796482553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67146796482553e-05×40589641000000     		ar = 13206.2744439362m²