Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102118 / 96298
↖ ↑ ↗
← S 64.218326°
E100.475464°		 ← 132.84 m → S 64.218326°
E100.478211°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
S 64.219521°
E100.475464°		 ← 132.84 m →
17 646 m²		 S 64.219521°
E100.478211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779102325439453 y=0.734699249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779102325439453 × 217)
    floor (0.779102325439453 × 131072)
    floor (102118.5)     		tx = 102118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734699249267578 × 217)
    floor (0.734699249267578 × 131072)
    floor (96298.5)     		ty = 96298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102118 / 96298 ti = "17/102118/96298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102118/96298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102118 ÷ 217
    102118 ÷ 131072     		x = 0.779098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96298 ÷ 217
    96298 ÷ 131072     		y = 0.734695434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    0.558197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75362766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734695434570312 × 2 - 1) × π
    -0.469390869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47463490611217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75362766} λ = 1.75362766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47463490611217))-π/2
    2×atan(0.228862268009353)-π/2
    2×0.224987549947027-π/2
    0.449975099894054-1.57079632675     		φ = -1.12082123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75362766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12082123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.218326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102118 KachelY 96298 1.75362766 -1.12082123 100.475464 -64.218326
    Oben rechts KachelX + 1 102119 KachelY 96298 1.75367560 -1.12082123 100.478211 -64.218326
    Unten links KachelX 102118 KachelY + 1 96299 1.75362766 -1.12084208 100.475464 -64.219521
    Unten rechts KachelX + 1 102119 KachelY + 1 96299 1.75367560 -1.12084208 100.478211 -64.219521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12082123--1.12084208) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12082123--1.12084208) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75362766-1.75367560) × cos(-1.12082123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434943109957482 × 6371000     		do = 132.842821216578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75362766-1.75367560) × cos(-1.12084208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434924335315017 × 6371000     		du = 132.83708695751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12082123)-sin(-1.12084208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434943109957482-0.434924335315017)×R²
    abs(1.75367560-1.75362766)×1.87746424646917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87746424646917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87746424646917e-05×40589641000000     		ar = 17645.8417958167m²