Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102117 / 99658
↖ ↑ ↗
← S 67.951963°
E100.472718°		 ← 114.63 m → S 67.951963°
E100.475464°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.952993°
E100.472718°		 ← 114.62 m →
13 138 m²		 S 67.952993°
E100.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779094696044922 y=0.760334014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779094696044922 × 217)
    floor (0.779094696044922 × 131072)
    floor (102117.5)     		tx = 102117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760334014892578 × 217)
    floor (0.760334014892578 × 131072)
    floor (99658.5)     		ty = 99658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102117 / 99658 ti = "17/102117/99658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102117/99658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102117 ÷ 217
    102117 ÷ 131072     		x = 0.779090881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99658 ÷ 217
    99658 ÷ 131072     		y = 0.760330200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779090881347656 × 2 - 1) × π
    0.558181762695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75357973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760330200195312 × 2 - 1) × π
    -0.520660400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63570288883556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75357973} λ = 1.75357973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63570288883556))-π/2
    2×atan(0.194815389601024)-π/2
    2×0.192405423555054-π/2
    0.384810847110108-1.57079632675     		φ = -1.18598548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75357973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.472718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18598548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.951963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102117 KachelY 99658 1.75357973 -1.18598548 100.472718 -67.951963
    Oben rechts KachelX + 1 102118 KachelY 99658 1.75362766 -1.18598548 100.475464 -67.951963
    Unten links KachelX 102117 KachelY + 1 99659 1.75357973 -1.18600347 100.472718 -67.952993
    Unten rechts KachelX + 1 102118 KachelY + 1 99659 1.75362766 -1.18600347 100.475464 -67.952993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18598548--1.18600347) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18598548--1.18600347) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75357973-1.75362766) × cos(-1.18598548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375383823135969 × 6371000     		do = 114.627966262031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75357973-1.75362766) × cos(-1.18600347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375367148693742 × 6371000     		du = 114.622874520503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18598548)-sin(-1.18600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375383823135969-0.375367148693742)×R²
    abs(1.75362766-1.75357973)×1.66744422266385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66744422266385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66744422266385e-05×40589641000000     		ar = 13137.7111743825m²