Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102115 / 98984
↖ ↑ ↗
← S 67.246562°
E100.467224°		 ← 118.13 m → S 67.246562°
E100.469971°		 →
↑
118.12 m
↓
↑
118.12 m
↓
S 67.247624°
E100.467224°		 ← 118.12 m →
13 953 m²		 S 67.247624°
E100.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779079437255859 y=0.755191802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779079437255859 × 217)
    floor (0.779079437255859 × 131072)
    floor (102115.5)     		tx = 102115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755191802978516 × 217)
    floor (0.755191802978516 × 131072)
    floor (98984.5)     		ty = 98984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102115 / 98984 ti = "17/102115/98984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102115/98984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102115 ÷ 217
    102115 ÷ 131072     		x = 0.779075622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98984 ÷ 217
    98984 ÷ 131072     		y = 0.75518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779075622558594 × 2 - 1) × π
    0.558151245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75348385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60339341849164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75348385} λ = 1.75348385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60339341849164))-π/2
    2×atan(0.201212559751701)-π/2
    2×0.198561210348285-π/2
    0.397122420696569-1.57079632675     		φ = -1.17367391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75348385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.467224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17367391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.246562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102115 KachelY 98984 1.75348385 -1.17367391 100.467224 -67.246562
    Oben rechts KachelX + 1 102116 KachelY 98984 1.75353179 -1.17367391 100.469971 -67.246562
    Unten links KachelX 102115 KachelY + 1 98985 1.75348385 -1.17369245 100.467224 -67.247624
    Unten rechts KachelX + 1 102116 KachelY + 1 98985 1.75353179 -1.17369245 100.469971 -67.247624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17367391--1.17369245) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dl = 118.118340000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17367391--1.17369245) × R
    1.85400000001223e-05 × 6371000     		dr = 118.118340000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75348385-1.75353179) × cos(-1.17367391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386766304033959 × 6371000     		do = 118.12838461656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75348385-1.75353179) × cos(-1.17369245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386749206791767 × 6371000     		du = 118.123162678711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17367391)-sin(-1.17369245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386766304033959-0.386749206791767)×R²
    abs(1.75353179-1.75348385)×1.70972421919546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70972421919546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70972421919546e-05×40589641000000     		ar = 13952.8202947826m²