Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102115 / 98982
↖ ↑ ↗
← S 67.244436°
E100.467224°		 ← 118.14 m → S 67.244436°
E100.469971°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
S 67.245499°
E100.467224°		 ← 118.13 m →
13 962 m²		 S 67.245499°
E100.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779079437255859 y=0.755176544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779079437255859 × 217)
    floor (0.779079437255859 × 131072)
    floor (102115.5)     		tx = 102115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755176544189453 × 217)
    floor (0.755176544189453 × 131072)
    floor (98982.5)     		ty = 98982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102115 / 98982 ti = "17/102115/98982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102115/98982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102115 ÷ 217
    102115 ÷ 131072     		x = 0.779075622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98982 ÷ 217
    98982 ÷ 131072     		y = 0.755172729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779075622558594 × 2 - 1) × π
    0.558151245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75348385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755172729492188 × 2 - 1) × π
    -0.510345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6032975446924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75348385} λ = 1.75348385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6032975446924))-π/2
    2×atan(0.20123185168904)-π/2
    2×0.198579751545572-π/2
    0.397159503091145-1.57079632675     		φ = -1.17363682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75348385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.467224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17363682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.244436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102115 KachelY 98982 1.75348385 -1.17363682 100.467224 -67.244436
    Oben rechts KachelX + 1 102116 KachelY 98982 1.75353179 -1.17363682 100.469971 -67.244436
    Unten links KachelX 102115 KachelY + 1 98983 1.75348385 -1.17365537 100.467224 -67.245499
    Unten rechts KachelX + 1 102116 KachelY + 1 98983 1.75353179 -1.17365537 100.469971 -67.245499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17363682--1.17365537) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17363682--1.17365537) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75348385-1.75353179) × cos(-1.17363682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38680050734114 × 6371000     		do = 118.138831186966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75348385-1.75353179) × cos(-1.17365537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386783401143207 × 6371000     		du = 118.133606513803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17363682)-sin(-1.17365537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38680050734114-0.386783401143207)×R²
    abs(1.75353179-1.75348385)×1.71061979326037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71061979326037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71061979326037e-05×40589641000000     		ar = 13961.580523438m²