Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102114 / 96300
↖ ↑ ↗
← S 64.220715°
E100.464477°		 ← 132.83 m → S 64.220715°
E100.467224°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
S 64.221909°
E100.464477°		 ← 132.83 m →
17 644 m²		 S 64.221909°
E100.467224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779071807861328 y=0.734714508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779071807861328 × 217)
    floor (0.779071807861328 × 131072)
    floor (102114.5)     		tx = 102114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734714508056641 × 217)
    floor (0.734714508056641 × 131072)
    floor (96300.5)     		ty = 96300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102114 / 96300 ti = "17/102114/96300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102114/96300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102114 ÷ 217
    102114 ÷ 131072     		x = 0.779067993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96300 ÷ 217
    96300 ÷ 131072     		y = 0.734710693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779067993164062 × 2 - 1) × π
    0.558135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75343591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.46942138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47473077991141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75343591} λ = 1.75343591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47473077991141))-π/2
    2×atan(0.228840327166009)-π/2
    2×0.224966701022657-π/2
    0.449933402045314-1.57079632675     		φ = -1.12086292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75343591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.464477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12086292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.220715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102114 KachelY 96300 1.75343591 -1.12086292 100.464477 -64.220715
    Oben rechts KachelX + 1 102115 KachelY 96300 1.75348385 -1.12086292 100.467224 -64.220715
    Unten links KachelX 102114 KachelY + 1 96301 1.75343591 -1.12088377 100.464477 -64.221909
    Unten rechts KachelX + 1 102115 KachelY + 1 96301 1.75348385 -1.12088377 100.467224 -64.221909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12086292--1.12088377) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12086292--1.12088377) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75343591-1.75348385) × cos(-1.12086292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434905569488242 × 6371000     		do = 132.831355390981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75343591-1.75348385) × cos(-1.12088377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434886794467733 × 6371000     		du = 132.825621016448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12086292)-sin(-1.12088377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434905569488242-0.434886794467733)×R²
    abs(1.75348385-1.75343591)×1.87750205085657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87750205085657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87750205085657e-05×40589641000000     		ar = 17644.3187213088m²