Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102113 / 96297
↖ ↑ ↗
← S 64.217131°
E100.461731°		 ← 132.82 m → S 64.217131°
E100.464477°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
S 64.218326°
E100.461731°		 ← 132.82 m →
17 643 m²		 S 64.218326°
E100.464477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779064178466797 y=0.734691619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779064178466797 × 217)
    floor (0.779064178466797 × 131072)
    floor (102113.5)     		tx = 102113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734691619873047 × 217)
    floor (0.734691619873047 × 131072)
    floor (96297.5)     		ty = 96297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102113 / 96297 ti = "17/102113/96297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102113/96297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102113 ÷ 217
    102113 ÷ 131072     		x = 0.779060363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96297 ÷ 217
    96297 ÷ 131072     		y = 0.734687805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779060363769531 × 2 - 1) × π
    0.558120727539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75338798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734687805175781 × 2 - 1) × π
    -0.469375610351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47458696921255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75338798} λ = 1.75338798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47458696921255))-π/2
    2×atan(0.228873239219882)-π/2
    2×0.224997975084194-π/2
    0.449995950168388-1.57079632675     		φ = -1.12080038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75338798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.461731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12080038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.217131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102113 KachelY 96297 1.75338798 -1.12080038 100.461731 -64.217131
    Oben rechts KachelX + 1 102114 KachelY 96297 1.75343591 -1.12080038 100.464477 -64.217131
    Unten links KachelX 102113 KachelY + 1 96298 1.75338798 -1.12082123 100.461731 -64.218326
    Unten rechts KachelX + 1 102114 KachelY + 1 96298 1.75343591 -1.12082123 100.464477 -64.218326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12080038--1.12082123) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12080038--1.12082123) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75338798-1.75343591) × cos(-1.12080038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434961884410867 × 6371000     		do = 132.820843996409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75338798-1.75343591) × cos(-1.12082123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434943109957482 × 6371000     		du = 132.815110991211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12080038)-sin(-1.12082123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434961884410867-0.434943109957482)×R²
    abs(1.75343591-1.75338798)×1.87744533851064e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87744533851064e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87744533851064e-05×40589641000000     		ar = 17642.9225273492m²