Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102111 / 97717
↖ ↑ ↗
← S 65.862373°
E100.456238°		 ← 124.90 m → S 65.862373°
E100.458984°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.863496°
E100.456238°		 ← 124.89 m →
15 596 m²		 S 65.863496°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779048919677734 y=0.745525360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779048919677734 × 217)
    floor (0.779048919677734 × 131072)
    floor (102111.5)     		tx = 102111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745525360107422 × 217)
    floor (0.745525360107422 × 131072)
    floor (97717.5)     		ty = 97717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102111 / 97717 ti = "17/102111/97717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102111/97717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102111 ÷ 217
    102111 ÷ 131072     		x = 0.779045104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97717 ÷ 217
    97717 ÷ 131072     		y = 0.745521545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779045104980469 × 2 - 1) × π
    0.558090209960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75329210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745521545410156 × 2 - 1) × π
    -0.491043090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54265736667303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75329210} λ = 1.75329210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54265736667303))-π/2
    2×atan(0.213812168499218)-π/2
    2×0.210640533351957-π/2
    0.421281066703914-1.57079632675     		φ = -1.14951526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75329210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.456238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14951526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.862373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102111 KachelY 97717 1.75329210 -1.14951526 100.456238 -65.862373
    Oben rechts KachelX + 1 102112 KachelY 97717 1.75334004 -1.14951526 100.458984 -65.862373
    Unten links KachelX 102111 KachelY + 1 97718 1.75329210 -1.14953486 100.456238 -65.863496
    Unten rechts KachelX + 1 102112 KachelY + 1 97718 1.75334004 -1.14953486 100.458984 -65.863496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14951526--1.14953486) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14951526--1.14953486) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75329210-1.75334004) × cos(-1.14951526) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.4089298460675 × 6371000     		do = 124.897700843749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75329210-1.75334004) × cos(-1.14953486) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408911959698827 × 6371000     		du = 124.892237886361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14951526)-sin(-1.14953486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4089298460675-0.408911959698827)×R²
    abs(1.75334004-1.75329210)×1.78863686734476e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78863686734476e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78863686734476e-05×40589641000000     		ar = 15595.83465694m²