Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102111 / 96069
↖ ↑ ↗
← S 63.943405°
E100.456238°		 ← 134.16 m → S 63.943405°
E100.458984°		 →
↑
134.17 m
↓
↑
134.17 m
↓
S 63.944612°
E100.456238°		 ← 134.16 m →
18 000 m²		 S 63.944612°
E100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779048919677734 y=0.732952117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779048919677734 × 217)
    floor (0.779048919677734 × 131072)
    floor (102111.5)     		tx = 102111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732952117919922 × 217)
    floor (0.732952117919922 × 131072)
    floor (96069.5)     		ty = 96069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102111 / 96069 ti = "17/102111/96069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102111/96069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102111 ÷ 217
    102111 ÷ 131072     		x = 0.779045104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96069 ÷ 217
    96069 ÷ 131072     		y = 0.732948303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779045104980469 × 2 - 1) × π
    0.558090209960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75329210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732948303222656 × 2 - 1) × π
    -0.465896606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.46365735609917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75329210} λ = 1.75329210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46365735609917))-π/2
    2×atan(0.231388455307747)-π/2
    2×0.227386683665505-π/2
    0.454773367331011-1.57079632675     		φ = -1.11602296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75329210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.456238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11602296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.943405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102111 KachelY 96069 1.75329210 -1.11602296 100.456238 -63.943405
    Oben rechts KachelX + 1 102112 KachelY 96069 1.75334004 -1.11602296 100.458984 -63.943405
    Unten links KachelX 102111 KachelY + 1 96070 1.75329210 -1.11604402 100.456238 -63.944612
    Unten rechts KachelX + 1 102112 KachelY + 1 96070 1.75334004 -1.11604402 100.458984 -63.944612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11602296--1.11604402) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dl = 134.173259999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11602296--1.11604402) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dr = 134.173259999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75329210-1.75334004) × cos(-1.11602296) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.439258726745795 × 6371000     		do = 134.160921668326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75329210-1.75334004) × cos(-1.11604402) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43923980717411 × 6371000     		du = 134.155143144143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11602296)-sin(-1.11604402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439258726745795-0.43923980717411)×R²
    abs(1.75334004-1.75329210)×1.89195716844837e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.89195716844837e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.89195716844837e-05×40589641000000     		ar = 18000.4205637022m²