Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102110 / 99678
↖ ↑ ↗
← S 67.972574°
E100.453491°		 ← 114.53 m → S 67.972574°
E100.456238°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.973604°
E100.453491°		 ← 114.52 m →
13 119 m²		 S 67.973604°
E100.456238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779041290283203 y=0.760486602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779041290283203 × 217)
    floor (0.779041290283203 × 131072)
    floor (102110.5)     		tx = 102110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760486602783203 × 217)
    floor (0.760486602783203 × 131072)
    floor (99678.5)     		ty = 99678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102110 / 99678 ti = "17/102110/99678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102110/99678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102110 ÷ 217
    102110 ÷ 131072     		x = 0.779037475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99678 ÷ 217
    99678 ÷ 131072     		y = 0.760482788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779037475585938 × 2 - 1) × π
    0.558074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75324417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760482788085938 × 2 - 1) × π
    -0.520965576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63666162682796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75324417} λ = 1.75324417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63666162682796))-π/2
    2×atan(0.194628702191965)-π/2
    2×0.192225556121491-π/2
    0.384451112242981-1.57079632675     		φ = -1.18634521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75324417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.453491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18634521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.972574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102110 KachelY 99678 1.75324417 -1.18634521 100.453491 -67.972574
    Oben rechts KachelX + 1 102111 KachelY 99678 1.75329210 -1.18634521 100.456238 -67.972574
    Unten links KachelX 102110 KachelY + 1 99679 1.75324417 -1.18636319 100.453491 -67.973604
    Unten rechts KachelX + 1 102111 KachelY + 1 99679 1.75329210 -1.18636319 100.456238 -67.973604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18634521--1.18636319) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18634521--1.18636319) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75324417-1.75329210) × cos(-1.18634521) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.375050376105964 × 6371000     		do = 114.52614419952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75324417-1.75329210) × cos(-1.18636319) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.37503370850567 × 6371000     		du = 114.521054547259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18634521)-sin(-1.18636319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375050376105964-0.37503370850567)×R²
    abs(1.75329210-1.75324417)×1.66676002945065e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66676002945065e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66676002945065e-05×40589641000000     		ar = 13118.7447323233m²