Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102110 / 96302
↖ ↑ ↗
← S 64.223104°
E100.453491°		 ← 132.79 m → S 64.223104°
E100.456238°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
S 64.224298°
E100.453491°		 ← 132.79 m →
17 631 m²		 S 64.224298°
E100.456238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779041290283203 y=0.734729766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779041290283203 × 217)
    floor (0.779041290283203 × 131072)
    floor (102110.5)     		tx = 102110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734729766845703 × 217)
    floor (0.734729766845703 × 131072)
    floor (96302.5)     		ty = 96302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102110 / 96302 ti = "17/102110/96302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102110/96302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102110 ÷ 217
    102110 ÷ 131072     		x = 0.779037475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96302 ÷ 217
    96302 ÷ 131072     		y = 0.734725952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779037475585938 × 2 - 1) × π
    0.558074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75324417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734725952148438 × 2 - 1) × π
    -0.469451904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47482665371065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75324417} λ = 1.75324417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47482665371065))-π/2
    2×atan(0.228818388426116)-π/2
    2×0.22494585389814-π/2
    0.44989170779628-1.57079632675     		φ = -1.12090462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75324417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.453491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12090462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.223104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102110 KachelY 96302 1.75324417 -1.12090462 100.453491 -64.223104
    Oben rechts KachelX + 1 102111 KachelY 96302 1.75329210 -1.12090462 100.456238 -64.223104
    Unten links KachelX 102110 KachelY + 1 96303 1.75324417 -1.12092546 100.453491 -64.224298
    Unten rechts KachelX + 1 102111 KachelY + 1 96303 1.75329210 -1.12092546 100.456238 -64.224298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12090462--1.12092546) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dl = 132.771640000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12090462--1.12092546) × R
    2.0840000000133e-05 × 6371000     		dr = 132.771640000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75324417-1.75329210) × cos(-1.12090462) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.43486801925817 × 6371000     		do = 132.79218114222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75324417-1.75329210) × cos(-1.12092546) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.434849252864592 × 6371000     		du = 132.786450598181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12090462)-sin(-1.12092546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43486801925817-0.434849252864592)×R²
    abs(1.75329210-1.75324417)×1.87663935780069e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87663935780069e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87663935780069e-05×40589641000000     		ar = 17630.6552433376m²