Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10211 / 2543
↖ ↑ ↗
← N 76.925585°
E 44.362793°		 ← 552.71 m → N 76.925585°
E 44.384766°		 →
↑
552.81 m
↓
↑
552.81 m
↓
N 76.920614°
E 44.362793°		 ← 552.92 m →
305 601 m²		 N 76.920614°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623260498046875 y=0.155242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623260498046875 × 214)
    floor (0.623260498046875 × 16384)
    floor (10211.5)     		tx = 10211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155242919921875 × 214)
    floor (0.155242919921875 × 16384)
    floor (2543.5)     		ty = 2543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10211 / 2543 ti = "14/10211/2543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10211/2543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10211 ÷ 214
    10211 ÷ 16384     		x = 0.62322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2543 ÷ 214
    2543 ÷ 16384     		y = 0.15521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15521240234375 × 2 - 1) × π
    0.6895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16636436762958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77427680} λ = 0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16636436762958))-π/2
    2×atan(8.72649995241285)-π/2
    2×1.4567005322116-π/2
    2.9134010644232-1.57079632675     		φ = 1.34260474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34260474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.925585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10211 KachelY 2543 0.77427680 1.34260474 44.362793 76.925585
    Oben rechts KachelX + 1 10212 KachelY 2543 0.77466030 1.34260474 44.384766 76.925585
    Unten links KachelX 10211 KachelY + 1 2544 0.77427680 1.34251797 44.362793 76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 10212 KachelY + 1 2544 0.77466030 1.34251797 44.384766 76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34260474-1.34251797) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dl = 552.811670000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34260474-1.34251797) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dr = 552.811670000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77427680-0.77466030) × cos(1.34260474) × R
    0.000383499999999981 × 0.226216360544837 × 6371000     		do = 552.709570067423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77427680-0.77466030) × cos(1.34251797) × R
    0.000383499999999981 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 552.916075518023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34260474)-sin(1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226216360544837-0.226300880361387)×R²
    abs(0.77466030-0.77427680)×8.45198165499716e-05×R²
    0.000383499999999981×8.45198165499716e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.45198165499716e-05×40589641000000     		ar = 305601.379957707m²