Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10211 / 2541
↖ ↑ ↗
← N 76.935523°
E 44.362793°		 ← 552.30 m → N 76.935523°
E 44.384766°		 →
↑
552.43 m
↓
↑
552.43 m
↓
N 76.930554°
E 44.362793°		 ← 552.50 m →
305 162 m²		 N 76.930554°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623260498046875 y=0.155120849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623260498046875 × 214)
    floor (0.623260498046875 × 16384)
    floor (10211.5)     		tx = 10211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155120849609375 × 214)
    floor (0.155120849609375 × 16384)
    floor (2541.5)     		ty = 2541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10211 / 2541 ti = "14/10211/2541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10211/2541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10211 ÷ 214
    10211 ÷ 16384     		x = 0.62322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2541 ÷ 214
    2541 ÷ 16384     		y = 0.15509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2464599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15509033203125 × 2 - 1) × π
    0.6898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1671313580235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77427680} λ = 0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1671313580235))-π/2
    2×atan(8.73319566149294)-π/2
    2×1.45678725270099-π/2
    2.91357450540197-1.57079632675     		φ = 1.34277818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34277818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.935523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10211 KachelY 2541 0.77427680 1.34277818 44.362793 76.935523
    Oben rechts KachelX + 1 10212 KachelY 2541 0.77466030 1.34277818 44.384766 76.935523
    Unten links KachelX 10211 KachelY + 1 2542 0.77427680 1.34269147 44.362793 76.930554
    Unten rechts KachelX + 1 10212 KachelY + 1 2542 0.77466030 1.34269147 44.384766 76.930554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34277818-1.34269147) × R
    8.67099999999343e-05 × 6371000     		dl = 552.429409999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34277818-1.34269147) × R
    8.67099999999343e-05 × 6371000     		dr = 552.429409999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77427680-0.77466030) × cos(1.34277818) × R
    0.000383499999999981 × 0.226047413214434 × 6371000     		do = 552.296784687415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77427680-0.77466030) × cos(1.34269147) × R
    0.000383499999999981 × 0.226131877988965 × 6371000     		du = 552.503155655034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34277818)-sin(1.34269147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226047413214434-0.226131877988965)×R²
    abs(0.77466030-0.77427680)×8.44647745312233e-05×R²
    0.000383499999999981×8.44647745312233e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.44647745312233e-05×40589641000000     		ar = 305161.98979632m²