Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102109 / 96090
↖ ↑ ↗
← S 63.968730°
E100.450745°		 ← 134.04 m → S 63.968730°
E100.453491°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
S 63.969935°
E100.450745°		 ← 134.03 m →
17 967 m²		 S 63.969935°
E100.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779033660888672 y=0.733112335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779033660888672 × 217)
    floor (0.779033660888672 × 131072)
    floor (102109.5)     		tx = 102109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733112335205078 × 217)
    floor (0.733112335205078 × 131072)
    floor (96090.5)     		ty = 96090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102109 / 96090 ti = "17/102109/96090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102109/96090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102109 ÷ 217
    102109 ÷ 131072     		x = 0.779029846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96090 ÷ 217
    96090 ÷ 131072     		y = 0.733108520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779029846191406 × 2 - 1) × π
    0.558059692382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.75319623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733108520507812 × 2 - 1) × π
    -0.466217041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4646640309912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75319623} λ = 1.75319623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4646640309912))-π/2
    2×atan(0.231155639564028)-π/2
    2×0.227165688251249-π/2
    0.454331376502498-1.57079632675     		φ = -1.11646495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75319623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.450745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11646495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.968730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102109 KachelY 96090 1.75319623 -1.11646495 100.450745 -63.968730
    Oben rechts KachelX + 1 102110 KachelY 96090 1.75324417 -1.11646495 100.453491 -63.968730
    Unten links KachelX 102109 KachelY + 1 96091 1.75319623 -1.11648599 100.450745 -63.969935
    Unten rechts KachelX + 1 102110 KachelY + 1 96091 1.75324417 -1.11648599 100.453491 -63.969935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11646495--1.11648599) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dl = 134.045840000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11646495--1.11648599) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dr = 134.045840000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75319623-1.75324417) × cos(-1.11646495) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.438861617450577 × 6371000     		do = 134.039634267972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75319623-1.75324417) × cos(-1.11648599) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.438842711763351 × 6371000     		du = 134.033859984461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11646495)-sin(-1.11648599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438861617450577-0.438842711763351)×R²
    abs(1.75324417-1.75319623)×1.89056872265669e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.89056872265669e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.89056872265669e-05×40589641000000     		ar = 17967.0683601844m²