Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102108 / 99531
↖ ↑ ↗
← S 67.820653°
E100.447998°		 ← 115.30 m → S 67.820653°
E100.450745°		 →
↑
115.32 m
↓
↑
115.32 m
↓
S 67.821690°
E100.447998°		 ← 115.30 m →
13 296 m²		 S 67.821690°
E100.450745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779026031494141 y=0.759365081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779026031494141 × 217)
    floor (0.779026031494141 × 131072)
    floor (102108.5)     		tx = 102108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759365081787109 × 217)
    floor (0.759365081787109 × 131072)
    floor (99531.5)     		ty = 99531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102108 / 99531 ti = "17/102108/99531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102108/99531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102108 ÷ 217
    102108 ÷ 131072     		x = 0.779022216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99531 ÷ 217
    99531 ÷ 131072     		y = 0.759361267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759361267089844 × 2 - 1) × π
    -0.518722534179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62961490258381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75314829} λ = 1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62961490258381))-π/2
    2×atan(0.196005040629706)-π/2
    2×0.193551318303145-π/2
    0.38710263660629-1.57079632675     		φ = -1.18369369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18369369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.820653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102108 KachelY 99531 1.75314829 -1.18369369 100.447998 -67.820653
    Oben rechts KachelX + 1 102109 KachelY 99531 1.75319623 -1.18369369 100.450745 -67.820653
    Unten links KachelX 102108 KachelY + 1 99532 1.75314829 -1.18371179 100.447998 -67.821690
    Unten rechts KachelX + 1 102109 KachelY + 1 99532 1.75319623 -1.18371179 100.450745 -67.821690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18369369--1.18371179) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dl = 115.31510000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18369369--1.18371179) × R
    1.81000000001319e-05 × 6371000     		dr = 115.31510000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75314829-1.75319623) × cos(-1.18369369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377507025609116 × 6371000     		do = 115.300362651788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75314829-1.75319623) × cos(-1.18371179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377490264825646 × 6371000     		du = 115.295243477093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18369369)-sin(-1.18371179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377507025609116-0.377490264825646)×R²
    abs(1.75319623-1.75314829)×1.67607834700711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67607834700711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67607834700711e-05×40589641000000     		ar = 13295.5776905438m²