Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102107 / 99609
↖ ↑ ↗
← S 67.901388°
E100.445252°		 ← 114.88 m → S 67.901388°
E100.447998°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.902421°
E100.445252°		 ← 114.87 m →
13 196 m²		 S 67.902421°
E100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779018402099609 y=0.759960174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779018402099609 × 217)
    floor (0.779018402099609 × 131072)
    floor (102107.5)     		tx = 102107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759960174560547 × 217)
    floor (0.759960174560547 × 131072)
    floor (99609.5)     		ty = 99609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102107 / 99609 ti = "17/102107/99609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102107/99609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102107 ÷ 217
    102107 ÷ 131072     		x = 0.779014587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99609 ÷ 217
    99609 ÷ 131072     		y = 0.759956359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779014587402344 × 2 - 1) × π
    0.558029174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75310036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759956359863281 × 2 - 1) × π
    -0.519912719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.63335398075417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75310036} λ = 1.75310036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63335398075417))-π/2
    2×atan(0.19527353089929)-π/2
    2×0.192846774811523-π/2
    0.385693549623046-1.57079632675     		φ = -1.18510278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75310036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.445252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18510278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.901388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102107 KachelY 99609 1.75310036 -1.18510278 100.445252 -67.901388
    Oben rechts KachelX + 1 102108 KachelY 99609 1.75314829 -1.18510278 100.447998 -67.901388
    Unten links KachelX 102107 KachelY + 1 99610 1.75310036 -1.18512081 100.445252 -67.902421
    Unten rechts KachelX + 1 102108 KachelY + 1 99610 1.75314829 -1.18512081 100.447998 -67.902421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18510278--1.18512081) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dl = 114.869129999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18510278--1.18512081) × R
    1.80299999998912e-05 × 6371000     		dr = 114.869129999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75310036-1.75314829) × cos(-1.18510278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376201824455154 × 6371000     		do = 114.8777528054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75310036-1.75314829) × cos(-1.18512081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37618511891852 × 6371000     		du = 114.872651568821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18510278)-sin(-1.18512081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376201824455154-0.37618511891852)×R²
    abs(1.75314829-1.75310036)×1.67055366345759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67055366345759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67055366345759e-05×40589641000000     		ar = 13195.6145341478m²