Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102107 / 97643
↖ ↑ ↗
← S 65.779124°
E100.445252°		 ← 125.28 m → S 65.779124°
E100.447998°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.780251°
E100.445252°		 ← 125.27 m →
15 699 m²		 S 65.780251°
E100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779018402099609 y=0.744960784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779018402099609 × 217)
    floor (0.779018402099609 × 131072)
    floor (102107.5)     		tx = 102107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744960784912109 × 217)
    floor (0.744960784912109 × 131072)
    floor (97643.5)     		ty = 97643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102107 / 97643 ti = "17/102107/97643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102107/97643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102107 ÷ 217
    102107 ÷ 131072     		x = 0.779014587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97643 ÷ 217
    97643 ÷ 131072     		y = 0.744956970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779014587402344 × 2 - 1) × π
    0.558029174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75310036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744956970214844 × 2 - 1) × π
    -0.489913940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.53911003610114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75310036} λ = 1.75310036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53911003610114))-π/2
    2×atan(0.214571977791784)-π/2
    2×0.211367013004787-π/2
    0.422734026009574-1.57079632675     		φ = -1.14806230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75310036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.445252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14806230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.779124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102107 KachelY 97643 1.75310036 -1.14806230 100.445252 -65.779124
    Oben rechts KachelX + 1 102108 KachelY 97643 1.75314829 -1.14806230 100.447998 -65.779124
    Unten links KachelX 102107 KachelY + 1 97644 1.75310036 -1.14808197 100.445252 -65.780251
    Unten rechts KachelX + 1 102108 KachelY + 1 97644 1.75314829 -1.14808197 100.447998 -65.780251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14806230--1.14808197) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dl = 125.317569999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14806230--1.14808197) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dr = 125.317569999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75310036-1.75314829) × cos(-1.14806230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41025533559457 × 6371000     		do = 125.276402095566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75310036-1.75314829) × cos(-1.14808197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410237397051516 × 6371000     		du = 125.270924345644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14806230)-sin(-1.14808197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41025533559457-0.410237397051516)×R²
    abs(1.75314829-1.75310036)×1.79385430545964e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79385430545964e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79385430545964e-05×40589641000000     		ar = 15698.991060312m²