Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102106 / 99126
↖ ↑ ↗
← S 67.396933°
E100.442505°		 ← 117.39 m → S 67.396933°
E100.445252°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
S 67.397989°
E100.442505°		 ← 117.38 m →
13 776 m²		 S 67.397989°
E100.445252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779010772705078 y=0.756275177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779010772705078 × 217)
    floor (0.779010772705078 × 131072)
    floor (102106.5)     		tx = 102106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756275177001953 × 217)
    floor (0.756275177001953 × 131072)
    floor (99126.5)     		ty = 99126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102106 / 99126 ti = "17/102106/99126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102106/99126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102106 ÷ 217
    102106 ÷ 131072     		x = 0.779006958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99126 ÷ 217
    99126 ÷ 131072     		y = 0.756271362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.779006958007812 × 2 - 1) × π
    0.558013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75305242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756271362304688 × 2 - 1) × π
    -0.512542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61020045823769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75305242} λ = 1.75305242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61020045823769))-π/2
    2×atan(0.199847548972116)-π/2
    2×0.197248968026413-π/2
    0.394497936052825-1.57079632675     		φ = -1.17629839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75305242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.442505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17629839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.396933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102106 KachelY 99126 1.75305242 -1.17629839 100.442505 -67.396933
    Oben rechts KachelX + 1 102107 KachelY 99126 1.75310036 -1.17629839 100.445252 -67.396933
    Unten links KachelX 102106 KachelY + 1 99127 1.75305242 -1.17631681 100.442505 -67.397989
    Unten rechts KachelX + 1 102107 KachelY + 1 99127 1.75310036 -1.17631681 100.445252 -67.397989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17629839--1.17631681) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dl = 117.353820001182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17629839--1.17631681) × R
    1.84200000001855e-05 × 6371000     		dr = 117.353820001182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75305242-1.75310036) × cos(-1.17629839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384344737715499 × 6371000     		do = 117.388775931785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75305242-1.75310036) × cos(-1.17631681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384327732497016 × 6371000     		du = 117.383582100346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17629839)-sin(-1.17631681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384344737715499-0.384327732497016)×R²
    abs(1.75310036-1.75305242)×1.70052184829683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70052184829683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70052184829683e-05×40589641000000     		ar = 13775.716523232m²