Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102105 / 96070
↖ ↑ ↗
← S 63.944612°
E100.439758°		 ← 134.16 m → S 63.944612°
E100.442505°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
S 63.945818°
E100.439758°		 ← 134.15 m →
17 991 m²		 S 63.945818°
E100.442505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.779003143310547 y=0.732959747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.779003143310547 × 217)
    floor (0.779003143310547 × 131072)
    floor (102105.5)     		tx = 102105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732959747314453 × 217)
    floor (0.732959747314453 × 131072)
    floor (96070.5)     		ty = 96070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102105 / 96070 ti = "17/102105/96070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102105/96070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102105 ÷ 217
    102105 ÷ 131072     		x = 0.778999328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96070 ÷ 217
    96070 ÷ 131072     		y = 0.732955932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778999328613281 × 2 - 1) × π
    0.557998657226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.75300448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732955932617188 × 2 - 1) × π
    -0.465911865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46370529299879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75300448} λ = 1.75300448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46370529299879))-π/2
    2×atan(0.231377363528447)-π/2
    2×0.227376155541445-π/2
    0.454752311082891-1.57079632675     		φ = -1.11604402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75300448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.439758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11604402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.944612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102105 KachelY 96070 1.75300448 -1.11604402 100.439758 -63.944612
    Oben rechts KachelX + 1 102106 KachelY 96070 1.75305242 -1.11604402 100.442505 -63.944612
    Unten links KachelX 102105 KachelY + 1 96071 1.75300448 -1.11606507 100.439758 -63.945818
    Unten rechts KachelX + 1 102106 KachelY + 1 96071 1.75305242 -1.11606507 100.442505 -63.945818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11604402--1.11606507) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dl = 134.109550001204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11604402--1.11606507) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dr = 134.109550001204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75300448-1.75305242) × cos(-1.11604402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43923980717411 × 6371000     		do = 134.155143143522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75300448-1.75305242) × cos(-1.11606507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439220896391403 × 6371000     		du = 134.14936730372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11604402)-sin(-1.11606507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43923980717411-0.439220896391403)×R²
    abs(1.75305242-1.75300448)×1.89107827070489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89107827070489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89107827070489e-05×40589641000000     		ar = 17991.0985802066m²