Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102103 / 99173
↖ ↑ ↗
← S 67.446496°
E100.434265°		 ← 117.14 m → S 67.446496°
E100.437012°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
S 67.447550°
E100.434265°		 ← 117.14 m →
13 725 m²		 S 67.447550°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778987884521484 y=0.756633758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778987884521484 × 217)
    floor (0.778987884521484 × 131072)
    floor (102103.5)     		tx = 102103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756633758544922 × 217)
    floor (0.756633758544922 × 131072)
    floor (99173.5)     		ty = 99173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102103 / 99173 ti = "17/102103/99173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102103/99173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102103 ÷ 217
    102103 ÷ 131072     		x = 0.778984069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99173 ÷ 217
    99173 ÷ 131072     		y = 0.756629943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778984069824219 × 2 - 1) × π
    0.557968139648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75290861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756629943847656 × 2 - 1) × π
    -0.513259887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.61245349251983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75290861} λ = 1.75290861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61245349251983))-π/2
    2×atan(0.199397792441773)-π/2
    2×0.196816447118998-π/2
    0.393632894237996-1.57079632675     		φ = -1.17716343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75290861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.434265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17716343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.446496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102103 KachelY 99173 1.75290861 -1.17716343 100.434265 -67.446496
    Oben rechts KachelX + 1 102104 KachelY 99173 1.75295655 -1.17716343 100.437012 -67.446496
    Unten links KachelX 102103 KachelY + 1 99174 1.75290861 -1.17718182 100.434265 -67.447550
    Unten rechts KachelX + 1 102104 KachelY + 1 99174 1.75295655 -1.17718182 100.437012 -67.447550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17716343--1.17718182) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dl = 117.162689999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17716343--1.17718182) × R
    1.83899999999237e-05 × 6371000     		dr = 117.162689999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75290861-1.75295655) × cos(-1.17716343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383545998042209 × 6371000     		do = 117.144820276003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75290861-1.75295655) × cos(-1.17718182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383529014411927 × 6371000     		du = 117.139633038157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17716343)-sin(-1.17718182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383545998042209-0.383529014411927)×R²
    abs(1.75295655-1.75290861)×1.69836302822413e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69836302822413e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69836302822413e-05×40589641000000     		ar = 13724.698387892m²