Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102103 / 96075
↖ ↑ ↗
← S 63.950643°
E100.434265°		 ← 134.13 m → S 63.950643°
E100.437012°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
S 63.951849°
E100.434265°		 ← 134.12 m →
17 987 m²		 S 63.951849°
E100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778987884521484 y=0.732997894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778987884521484 × 217)
    floor (0.778987884521484 × 131072)
    floor (102103.5)     		tx = 102103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732997894287109 × 217)
    floor (0.732997894287109 × 131072)
    floor (96075.5)     		ty = 96075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102103 / 96075 ti = "17/102103/96075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102103/96075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102103 ÷ 217
    102103 ÷ 131072     		x = 0.778984069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96075 ÷ 217
    96075 ÷ 131072     		y = 0.732994079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778984069824219 × 2 - 1) × π
    0.557968139648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75290861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732994079589844 × 2 - 1) × π
    -0.465988159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.46394497749689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75290861} λ = 1.75290861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46394497749689))-π/2
    2×atan(0.231321912606826)-π/2
    2×0.227323521721617-π/2
    0.454647043443235-1.57079632675     		φ = -1.11614928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75290861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.434265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11614928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.950643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102103 KachelY 96075 1.75290861 -1.11614928 100.434265 -63.950643
    Oben rechts KachelX + 1 102104 KachelY 96075 1.75295655 -1.11614928 100.437012 -63.950643
    Unten links KachelX 102103 KachelY + 1 96076 1.75290861 -1.11617033 100.434265 -63.951849
    Unten rechts KachelX + 1 102104 KachelY + 1 96076 1.75295655 -1.11617033 100.437012 -63.951849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11614928--1.11617033) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dl = 134.109550001204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11614928--1.11617033) × R
    2.1050000000189e-05 × 6371000     		dr = 134.109550001204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75290861-1.75295655) × cos(-1.11614928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4391452423303 × 6371000     		do = 134.126260606123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75290861-1.75295655) × cos(-1.11617033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439126330574485 × 6371000     		du = 134.120484469109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11614928)-sin(-1.11617033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4391452423303-0.439126330574485)×R²
    abs(1.75295655-1.75290861)×1.8911755815032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8911755815032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8911755815032e-05×40589641000000     		ar = 17987.2251363297m²