Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102102 / 96758
↖ ↑ ↗
← S 64.762417°
E100.431518°		 ← 130.23 m → S 64.762417°
E100.434265°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
S 64.763588°
E100.431518°		 ← 130.22 m →
16 958 m²		 S 64.763588°
E100.434265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778980255126953 y=0.738208770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778980255126953 × 217)
    floor (0.778980255126953 × 131072)
    floor (102102.5)     		tx = 102102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738208770751953 × 217)
    floor (0.738208770751953 × 131072)
    floor (96758.5)     		ty = 96758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102102 / 96758 ti = "17/102102/96758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102102/96758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102102 ÷ 217
    102102 ÷ 131072     		x = 0.778976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96758 ÷ 217
    96758 ÷ 131072     		y = 0.738204956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778976440429688 × 2 - 1) × π
    0.557952880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75286067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738204956054688 × 2 - 1) × π
    -0.476409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49668587993739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75286067} λ = 1.75286067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49668587993739))-π/2
    2×atan(0.223870867006524)-π/2
    2×0.220239457777978-π/2
    0.440478915555956-1.57079632675     		φ = -1.13031741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75286067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13031741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.762417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102102 KachelY 96758 1.75286067 -1.13031741 100.431518 -64.762417
    Oben rechts KachelX + 1 102103 KachelY 96758 1.75290861 -1.13031741 100.434265 -64.762417
    Unten links KachelX 102102 KachelY + 1 96759 1.75286067 -1.13033785 100.431518 -64.763588
    Unten rechts KachelX + 1 102103 KachelY + 1 96759 1.75290861 -1.13033785 100.434265 -64.763588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13031741--1.13033785) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dl = 130.223240000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13031741--1.13033785) × R
    2.04400000001215e-05 × 6371000     		dr = 130.223240000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75286067-1.75290861) × cos(-1.13031741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42637271696915 × 6371000     		do = 130.225202596028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75286067-1.75290861) × cos(-1.13033785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.426354227927754 × 6371000     		du = 130.219555566878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13031741)-sin(-1.13033785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42637271696915-0.426354227927754)×R²
    abs(1.75290861-1.75286067)×1.84890413956196e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84890413956196e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84890413956196e-05×40589641000000     		ar = 16957.9801250792m²