Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102102 / 96396
↖ ↑ ↗
← S 64.335150°
E100.431518°		 ← 132.28 m → S 64.335150°
E100.434265°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.336339°
E100.431518°		 ← 132.28 m →
17 495 m²		 S 64.336339°
E100.434265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778980255126953 y=0.735446929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778980255126953 × 217)
    floor (0.778980255126953 × 131072)
    floor (102102.5)     		tx = 102102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735446929931641 × 217)
    floor (0.735446929931641 × 131072)
    floor (96396.5)     		ty = 96396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102102 / 96396 ti = "17/102102/96396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102102/96396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102102 ÷ 217
    102102 ÷ 131072     		x = 0.778976440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96396 ÷ 217
    96396 ÷ 131072     		y = 0.735443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778976440429688 × 2 - 1) × π
    0.557952880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75286067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75286067} λ = 1.75286067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47933272227493))-π/2
    2×atan(0.22778963663286)-π/2
    2×0.223968067084431-π/2
    0.447936134168862-1.57079632675     		φ = -1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75286067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102102 KachelY 96396 1.75286067 -1.12286019 100.431518 -64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 102103 KachelY 96396 1.75290861 -1.12286019 100.434265 -64.335150
    Unten links KachelX 102102 KachelY + 1 96397 1.75286067 -1.12288095 100.431518 -64.336339
    Unten rechts KachelX + 1 102103 KachelY + 1 96397 1.75290861 -1.12288095 100.434265 -64.336339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12286019--1.12288095) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dl = 132.261960001115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12286019--1.12288095) × R
    2.07600000001751e-05 × 6371000     		dr = 132.261960001115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75286067-1.75290861) × cos(-1.12286019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 132.281784508636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75286067-1.75290861) × cos(-1.12288095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433087497441736 × 6371000     		du = 132.276069390804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12286019)-sin(-1.12288095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433087497441736)×R²
    abs(1.75290861-1.75286067)×1.87119717940387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87119717940387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87119717940387e-05×40589641000000     		ar = 17495.4701458006m²