Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102101 / 96395
↖ ↑ ↗
← S 64.333960°
E100.428772°		 ← 132.29 m → S 64.333960°
E100.431518°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.335150°
E100.428772°		 ← 132.28 m →
17 496 m²		 S 64.335150°
E100.431518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778972625732422 y=0.735439300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778972625732422 × 217)
    floor (0.778972625732422 × 131072)
    floor (102101.5)     		tx = 102101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735439300537109 × 217)
    floor (0.735439300537109 × 131072)
    floor (96395.5)     		ty = 96395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102101 / 96395 ti = "17/102101/96395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102101/96395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102101 ÷ 217
    102101 ÷ 131072     		x = 0.778968811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96395 ÷ 217
    96395 ÷ 131072     		y = 0.735435485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778968811035156 × 2 - 1) × π
    0.557937622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75281273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735435485839844 × 2 - 1) × π
    -0.470870971679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.47928478537531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75281273} λ = 1.75281273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47928478537531))-π/2
    2×atan(0.227800556423534)-π/2
    2×0.223978448193086-π/2
    0.447956896386171-1.57079632675     		φ = -1.12283943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75281273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.428772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12283943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.333960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102101 KachelY 96395 1.75281273 -1.12283943 100.428772 -64.333960
    Oben rechts KachelX + 1 102102 KachelY 96395 1.75286067 -1.12283943 100.431518 -64.333960
    Unten links KachelX 102101 KachelY + 1 96396 1.75281273 -1.12286019 100.428772 -64.335150
    Unten rechts KachelX + 1 102102 KachelY + 1 96396 1.75286067 -1.12286019 100.431518 -64.335150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12283943--1.12286019) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12283943--1.12286019) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75281273-1.75286067) × cos(-1.12283943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433124921198665 × 6371000     		do = 132.287499569457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75281273-1.75286067) × cos(-1.12286019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43310620941353 × 6371000     		du = 132.281784508636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12283943)-sin(-1.12286019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433124921198665-0.43310620941353)×R²
    abs(1.75286067-1.75281273)×1.87117851347396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87117851347396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87117851347396e-05×40589641000000     		ar = 17496.2260347198m²