Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10210 / 2167
↖ ↑ ↗
← N 78.668926°
E 44.340820°		 ← 480.04 m → N 78.668926°
E 44.362793°		 →
↑
480.12 m
↓
↑
480.12 m
↓
N 78.664608°
E 44.340820°		 ← 480.22 m →
230 518 m²		 N 78.664608°
E 44.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623199462890625 y=0.132293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623199462890625 × 214)
    floor (0.623199462890625 × 16384)
    floor (10210.5)     		tx = 10210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132293701171875 × 214)
    floor (0.132293701171875 × 16384)
    floor (2167.5)     		ty = 2167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10210 / 2167 ti = "14/10210/2167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10210/2167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10210 ÷ 214
    10210 ÷ 16384     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2167 ÷ 214
    2167 ÷ 16384     		y = 0.13226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13226318359375 × 2 - 1) × π
    0.7354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31055856168671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31055856168671))-π/2
    2×atan(10.0800534144998)-π/2
    2×1.47191404933281-π/2
    2.94382809866563-1.57079632675     		φ = 1.37303177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37303177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.668926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10210 KachelY 2167 0.77389331 1.37303177 44.340820 78.668926
    Oben rechts KachelX + 1 10211 KachelY 2167 0.77427680 1.37303177 44.362793 78.668926
    Unten links KachelX 10210 KachelY + 1 2168 0.77389331 1.37295641 44.340820 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 10211 KachelY + 1 2168 0.77427680 1.37295641 44.362793 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37303177-1.37295641) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dl = 480.118560000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37303177-1.37295641) × R
    7.53600000000798e-05 × 6371000     		dr = 480.118560000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77427680) × cos(1.37303177) × R
    0.000383490000000042 × 0.196477953052181 × 6371000     		do = 480.037840806067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77427680) × cos(1.37295641) × R
    0.000383490000000042 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 480.218371274022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37303177)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196477953052181-0.196551843595368)×R²
    abs(0.77427680-0.77389331)×7.38905431866832e-05×R²
    0.000383490000000042×7.38905431866832e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.38905431866832e-05×40589641000000     		ar = 230518.414996317m²