Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1021 / 5115
↖ ↑ ↗
← S 40.813809°
W135.131836°		 ← 3 698.28 m → S 40.813809°
W135.087891°		 →
↑
3 697.35 m
↓
↑
3 697.35 m
↓
S 40.847060°
W135.131836°		 ← 3 696.43 m →
13 670 400 m²		 S 40.847060°
W135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12469482421875 y=0.62445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12469482421875 × 213)
    floor (0.12469482421875 × 8192)
    floor (1021.5)     		tx = 1021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62445068359375 × 213)
    floor (0.62445068359375 × 8192)
    floor (5115.5)     		ty = 5115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1021 / 5115 ti = "13/1021/5115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1021/5115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1021 ÷ 213
    1021 ÷ 8192     		x = 0.1246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5115 ÷ 213
    5115 ÷ 8192     		y = 0.6243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35849546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35849546} λ = -2.35849546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781563211405396))-π/2
    2×atan(0.457689985595636)-π/2
    2×0.429230487728755-π/2
    0.85846097545751-1.57079632675     		φ = -0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35849546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1021 KachelY 5115 -2.35849546 -0.71233535 -135.131836 -40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 1022 KachelY 5115 -2.35772847 -0.71233535 -135.087891 -40.813809
    Unten links KachelX 1021 KachelY + 1 5116 -2.35849546 -0.71291569 -135.131836 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 1022 KachelY + 1 5116 -2.35772847 -0.71291569 -135.087891 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71233535--0.71291569) × R
    0.000580339999999957 × 6371000     		dl = 3697.34613999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71233535--0.71291569) × R
    0.000580339999999957 × 6371000     		dr = 3697.34613999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35849546--2.35772847) × cos(-0.71233535) × R
    0.000766989999999801 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 3698.28160665656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35849546--2.35772847) × cos(-0.71291569) × R
    0.000766989999999801 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 3696.42747851661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71233535)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756458109966538)×R²
    abs(-2.35772847--2.35849546)×0.00037943941184615×R²
    0.000766989999999801×0.00037943941184615×6371000²
    0.000766989999999801×0.00037943941184615×40589641000000     		ar = 13670399.9299182m²