Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102098 / 97394
↖ ↑ ↗
← S 65.497019°
E100.420532°		 ← 126.67 m → S 65.497019°
E100.423279°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.498159°
E100.420532°		 ← 126.67 m →
16 051 m²		 S 65.498159°
E100.423279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778949737548828 y=0.743061065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778949737548828 × 217)
    floor (0.778949737548828 × 131072)
    floor (102098.5)     		tx = 102098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743061065673828 × 217)
    floor (0.743061065673828 × 131072)
    floor (97394.5)     		ty = 97394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102098 / 97394 ti = "17/102098/97394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102098/97394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102098 ÷ 217
    102098 ÷ 131072     		x = 0.778945922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97394 ÷ 217
    97394 ÷ 131072     		y = 0.743057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778945922851562 × 2 - 1) × π
    0.557891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75266892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743057250976562 × 2 - 1) × π
    -0.486114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52717374809575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75266892} λ = 1.75266892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52717374809575))-π/2
    2×atan(0.217148517284354)-π/2
    2×0.213828840915011-π/2
    0.427657681830021-1.57079632675     		φ = -1.14313864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75266892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.420532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14313864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.497019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102098 KachelY 97394 1.75266892 -1.14313864 100.420532 -65.497019
    Oben rechts KachelX + 1 102099 KachelY 97394 1.75271686 -1.14313864 100.423279 -65.497019
    Unten links KachelX 102098 KachelY + 1 97395 1.75266892 -1.14315853 100.420532 -65.498159
    Unten rechts KachelX + 1 102099 KachelY + 1 97395 1.75271686 -1.14315853 100.423279 -65.498159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14313864--1.14315853) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14313864--1.14315853) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75266892-1.75271686) × cos(-1.14313864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414740578331649 × 6371000     		do = 126.672448044889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75266892-1.75271686) × cos(-1.14315853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414722479549033 × 6371000     		du = 126.666920210815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14313864)-sin(-1.14315853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414740578331649-0.414722479549033)×R²
    abs(1.75271686-1.75266892)×1.80987826158274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80987826158274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80987826158274e-05×40589641000000     		ar = 16051.4797707216m²