Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102092 / 96403
↖ ↑ ↗
← S 64.343476°
E100.404053°		 ← 132.24 m → S 64.343476°
E100.406799°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.344665°
E100.404053°		 ← 132.24 m →
17 490 m²		 S 64.344665°
E100.406799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778903961181641 y=0.735500335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778903961181641 × 217)
    floor (0.778903961181641 × 131072)
    floor (102092.5)     		tx = 102092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735500335693359 × 217)
    floor (0.735500335693359 × 131072)
    floor (96403.5)     		ty = 96403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102092 / 96403 ti = "17/102092/96403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102092/96403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102092 ÷ 217
    102092 ÷ 131072     		x = 0.778900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96403 ÷ 217
    96403 ÷ 131072     		y = 0.735496520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778900146484375 × 2 - 1) × π
    0.55780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75238130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735496520996094 × 2 - 1) × π
    -0.470993041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47966828057227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75238130} λ = 1.75238130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47966828057227))-π/2
    2×atan(0.22771321275329)-π/2
    2×0.223895411881933-π/2
    0.447790823763867-1.57079632675     		φ = -1.12300550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75238130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12300550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.343476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102092 KachelY 96403 1.75238130 -1.12300550 100.404053 -64.343476
    Oben rechts KachelX + 1 102093 KachelY 96403 1.75242924 -1.12300550 100.406799 -64.343476
    Unten links KachelX 102092 KachelY + 1 96404 1.75238130 -1.12302626 100.404053 -64.344665
    Unten rechts KachelX + 1 102093 KachelY + 1 96404 1.75242924 -1.12302626 100.406799 -64.344665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12300550--1.12302626) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12300550--1.12302626) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75238130-1.75242924) × cos(-1.12300550) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.432975230705642 × 6371000     		do = 132.241780240467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75238130-1.75242924) × cos(-1.12302626) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43295651742755 × 6371000     		du = 132.236064723658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12300550)-sin(-1.12302626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432975230705642-0.43295651742755)×R²
    abs(1.75242924-1.75238130)×1.87132780916643e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.87132780916643e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.87132780916643e-05×40589641000000     		ar = 17490.1790761834m²