Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102091 / 96102
↖ ↑ ↗
← S 63.983190°
E100.401306°		 ← 133.94 m → S 63.983190°
E100.404053°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.984395°
E100.401306°		 ← 133.94 m →
17 937 m²		 S 63.984395°
E100.404053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778896331787109 y=0.733203887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778896331787109 × 217)
    floor (0.778896331787109 × 131072)
    floor (102091.5)     		tx = 102091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733203887939453 × 217)
    floor (0.733203887939453 × 131072)
    floor (96102.5)     		ty = 96102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102091 / 96102 ti = "17/102091/96102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102091/96102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102091 ÷ 217
    102091 ÷ 131072     		x = 0.778892517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96102 ÷ 217
    96102 ÷ 131072     		y = 0.733200073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778892517089844 × 2 - 1) × π
    0.557785034179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75233337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733200073242188 × 2 - 1) × π
    -0.466400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46523927378664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75233337} λ = 1.75233337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46523927378664))-π/2
    2×atan(0.231022707185606)-π/2
    2×0.227039494877521-π/2
    0.454078989755041-1.57079632675     		φ = -1.11671734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75233337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.401306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11671734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.983190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102091 KachelY 96102 1.75233337 -1.11671734 100.401306 -63.983190
    Oben rechts KachelX + 1 102092 KachelY 96102 1.75238130 -1.11671734 100.404053 -63.983190
    Unten links KachelX 102091 KachelY + 1 96103 1.75233337 -1.11673836 100.401306 -63.984395
    Unten rechts KachelX + 1 102092 KachelY + 1 96103 1.75238130 -1.11673836 100.404053 -63.984395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11671734--1.11673836) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dl = 133.918420000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11671734--1.11673836) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dr = 133.918420000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75233337-1.75238130) × cos(-1.11671734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438634817263926 × 6371000     		do = 133.942418228474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75233337-1.75238130) × cos(-1.11673836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438615927220364 × 6371000     		du = 133.936649926425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11671734)-sin(-1.11673836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438634817263926-0.438615927220364)×R²
    abs(1.75238130-1.75233337)×1.88900435623696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88900435623696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88900435623696e-05×40589641000000     		ar = 17936.9707798603m²