Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102090 / 96103
↖ ↑ ↗
← S 63.984395°
E100.398560°		 ← 133.96 m → S 63.984395°
E100.401306°		 →
↑
133.98 m
↓
↑
133.98 m
↓
S 63.985600°
E100.398560°		 ← 133.96 m →
17 948 m²		 S 63.985600°
E100.401306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778888702392578 y=0.733211517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778888702392578 × 217)
    floor (0.778888702392578 × 131072)
    floor (102090.5)     		tx = 102090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733211517333984 × 217)
    floor (0.733211517333984 × 131072)
    floor (96103.5)     		ty = 96103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102090 / 96103 ti = "17/102090/96103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102090/96103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102090 ÷ 217
    102090 ÷ 131072     		x = 0.778884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96103 ÷ 217
    96103 ÷ 131072     		y = 0.733207702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778884887695312 × 2 - 1) × π
    0.557769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75228543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733207702636719 × 2 - 1) × π
    -0.466415405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.46528721068626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75228543} λ = 1.75228543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46528721068626))-π/2
    2×atan(0.231011632938716)-π/2
    2×0.227028981707306-π/2
    0.454057963414613-1.57079632675     		φ = -1.11673836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75228543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.398560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11673836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.984395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102090 KachelY 96103 1.75228543 -1.11673836 100.398560 -63.984395
    Oben rechts KachelX + 1 102091 KachelY 96103 1.75233337 -1.11673836 100.401306 -63.984395
    Unten links KachelX 102090 KachelY + 1 96104 1.75228543 -1.11675939 100.398560 -63.985600
    Unten rechts KachelX + 1 102091 KachelY + 1 96104 1.75233337 -1.11675939 100.401306 -63.985600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11673836--1.11675939) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dl = 133.982129999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11673836--1.11675939) × R
    2.10299999998664e-05 × 6371000     		dr = 133.982129999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75228543-1.75233337) × cos(-1.11673836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438615927220364 × 6371000     		do = 133.964594146978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75228543-1.75233337) × cos(-1.11675939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438597027996165 × 6371000     		du = 133.958821837442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11673836)-sin(-1.11675939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438615927220364-0.438597027996165)×R²
    abs(1.75233337-1.75228543)×1.88992241987873e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88992241987873e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88992241987873e-05×40589641000000     		ar = 17948.4749758523m²