Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102088 / 96088
↖ ↑ ↗
← S 63.966319°
E100.393066°		 ← 134.05 m → S 63.966319°
E100.395813°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
S 63.967524°
E100.393066°		 ← 134.05 m →
17 969 m²		 S 63.967524°
E100.395813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778873443603516 y=0.733097076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778873443603516 × 217)
    floor (0.778873443603516 × 131072)
    floor (102088.5)     		tx = 102088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733097076416016 × 217)
    floor (0.733097076416016 × 131072)
    floor (96088.5)     		ty = 96088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102088 / 96088 ti = "17/102088/96088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102088/96088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102088 ÷ 217
    102088 ÷ 131072     		x = 0.77886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96088 ÷ 217
    96088 ÷ 131072     		y = 0.73309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    0.5577392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75218955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73309326171875 × 2 - 1) × π
    -0.4661865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46456815719196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75218955} λ = 1.75218955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46456815719196))-π/2
    2×atan(0.23117780239581)-π/2
    2×0.227186726822734-π/2
    0.454373453645467-1.57079632675     		φ = -1.11642287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75218955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.393066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11642287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.966319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102088 KachelY 96088 1.75218955 -1.11642287 100.393066 -63.966319
    Oben rechts KachelX + 1 102089 KachelY 96088 1.75223749 -1.11642287 100.395813 -63.966319
    Unten links KachelX 102088 KachelY + 1 96089 1.75218955 -1.11644391 100.393066 -63.967524
    Unten rechts KachelX + 1 102089 KachelY + 1 96089 1.75223749 -1.11644391 100.395813 -63.967524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11642287--1.11644391) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dl = 134.045840000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11642287--1.11644391) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dr = 134.045840000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75218955-1.75223749) × cos(-1.11642287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438899428242194 × 6371000     		do = 134.051182656361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75218955-1.75223749) × cos(-1.11644391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438880522943528 × 6371000     		du = 134.045408491526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11642287)-sin(-1.11644391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438899428242194-0.438880522943528)×R²
    abs(1.75223749-1.75218955)×1.89052986662719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89052986662719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89052986662719e-05×40589641000000     		ar = 17968.6163814295m²