Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102082 / 96706
↖ ↑ ↗
← S 64.701453°
E100.376587°		 ← 130.52 m → S 64.701453°
E100.379333°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
S 64.702627°
E100.376587°		 ← 130.51 m →
17 038 m²		 S 64.702627°
E100.379333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778827667236328 y=0.737812042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778827667236328 × 217)
    floor (0.778827667236328 × 131072)
    floor (102082.5)     		tx = 102082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737812042236328 × 217)
    floor (0.737812042236328 × 131072)
    floor (96706.5)     		ty = 96706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102082 / 96706 ti = "17/102082/96706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102082/96706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102082 ÷ 217
    102082 ÷ 131072     		x = 0.778823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96706 ÷ 217
    96706 ÷ 131072     		y = 0.737808227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778823852539062 × 2 - 1) × π
    0.557647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75190193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737808227539062 × 2 - 1) × π
    -0.475616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49419316115715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75190193} λ = 1.75190193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49419316115715))-π/2
    2×atan(0.2244296102266)-π/2
    2×0.220771470877423-π/2
    0.441542941754846-1.57079632675     		φ = -1.12925338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75190193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12925338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.701453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102082 KachelY 96706 1.75190193 -1.12925338 100.376587 -64.701453
    Oben rechts KachelX + 1 102083 KachelY 96706 1.75194987 -1.12925338 100.379333 -64.701453
    Unten links KachelX 102082 KachelY + 1 96707 1.75190193 -1.12927387 100.376587 -64.702627
    Unten rechts KachelX + 1 102083 KachelY + 1 96707 1.75194987 -1.12927387 100.379333 -64.702627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12925338--1.12927387) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12925338--1.12927387) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75190193-1.75194987) × cos(-1.12925338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427334941177336 × 6371000     		do = 130.519090636859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75190193-1.75194987) × cos(-1.12927387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427316416214181 × 6371000     		du = 130.513432636279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12925338)-sin(-1.12927387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427334941177336-0.427316416214181)×R²
    abs(1.75194987-1.75190193)×1.85249631550199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85249631550199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85249631550199e-05×40589641000000     		ar = 17037.8264186654m²