Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102082 / 96486
↖ ↑ ↗
← S 64.442002°
E100.376587°		 ← 131.77 m → S 64.442002°
E100.379333°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.443187°
E100.376587°		 ← 131.76 m →
17 360 m²		 S 64.443187°
E100.379333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778827667236328 y=0.736133575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778827667236328 × 217)
    floor (0.778827667236328 × 131072)
    floor (102082.5)     		tx = 102082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736133575439453 × 217)
    floor (0.736133575439453 × 131072)
    floor (96486.5)     		ty = 96486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102082 / 96486 ti = "17/102082/96486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102082/96486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102082 ÷ 217
    102082 ÷ 131072     		x = 0.778823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96486 ÷ 217
    96486 ÷ 131072     		y = 0.736129760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778823852539062 × 2 - 1) × π
    0.557647705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75190193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736129760742188 × 2 - 1) × π
    -0.472259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48364704324074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75190193} λ = 1.75190193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48364704324074))-π/2
    2×atan(0.226808995948159)-π/2
    2×0.223035602236721-π/2
    0.446071204473441-1.57079632675     		φ = -1.12472512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75190193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.376587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12472512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.442002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102082 KachelY 96486 1.75190193 -1.12472512 100.376587 -64.442002
    Oben rechts KachelX + 1 102083 KachelY 96486 1.75194987 -1.12472512 100.379333 -64.442002
    Unten links KachelX 102082 KachelY + 1 96487 1.75190193 -1.12474580 100.376587 -64.443187
    Unten rechts KachelX + 1 102083 KachelY + 1 96487 1.75194987 -1.12474580 100.379333 -64.443187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12472512--1.12474580) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12472512--1.12474580) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75190193-1.75194987) × cos(-1.12472512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431424515822173 × 6371000     		do = 131.768151999042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75190193-1.75194987) × cos(-1.12474580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431405859287812 × 6371000     		du = 131.762453813229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12472512)-sin(-1.12474580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431424515822173-0.431405859287812)×R²
    abs(1.75194987-1.75190193)×1.86565343608946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86565343608946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86565343608946e-05×40589641000000     		ar = 17360.3790835195m²