Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102081 / 96707
↖ ↑ ↗
← S 64.702627°
E100.373841°		 ← 130.49 m → S 64.702627°
E100.376587°		 →
↑
130.48 m
↓
↑
130.48 m
↓
S 64.703800°
E100.373841°		 ← 130.48 m →
17 025 m²		 S 64.703800°
E100.376587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778820037841797 y=0.737819671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778820037841797 × 217)
    floor (0.778820037841797 × 131072)
    floor (102081.5)     		tx = 102081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737819671630859 × 217)
    floor (0.737819671630859 × 131072)
    floor (96707.5)     		ty = 96707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102081 / 96707 ti = "17/102081/96707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102081/96707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102081 ÷ 217
    102081 ÷ 131072     		x = 0.778816223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96707 ÷ 217
    96707 ÷ 131072     		y = 0.737815856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778816223144531 × 2 - 1) × π
    0.557632446289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75185400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737815856933594 × 2 - 1) × π
    -0.475631713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.49424109805677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75185400} λ = 1.75185400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49424109805677))-π/2
    2×atan(0.224418852024762)-π/2
    2×0.220761228543394-π/2
    0.441522457086787-1.57079632675     		φ = -1.12927387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75185400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.373841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12927387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.702627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102081 KachelY 96707 1.75185400 -1.12927387 100.373841 -64.702627
    Oben rechts KachelX + 1 102082 KachelY 96707 1.75190193 -1.12927387 100.376587 -64.702627
    Unten links KachelX 102081 KachelY + 1 96708 1.75185400 -1.12929435 100.373841 -64.703800
    Unten rechts KachelX + 1 102082 KachelY + 1 96708 1.75190193 -1.12929435 100.376587 -64.703800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12927387--1.12929435) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000     		dl = 130.478079999225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12927387--1.12929435) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000     		dr = 130.478079999225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75185400-1.75190193) × cos(-1.12927387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427316416214181 × 6371000     		do = 130.486208307567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75185400-1.75190193) × cos(-1.12929435) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42729790011273 × 6371000     		du = 130.48055419324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12927387)-sin(-1.12929435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427316416214181-0.42729790011273)×R²
    abs(1.75190193-1.75185400)×1.85161014505386e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85161014505386e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85161014505386e-05×40589641000000     		ar = 17025.221057881m²